Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

в полных дифференциалах. Тогда его можно переписать в виде
M(x, y) dx + N(x, y) dy =
∂U
∂x
dx +
∂U
∂y
dy = dU =0,
и общий интеграл такого уравнения легко находится:
U(x, y)=C.
Теорема. Для того чтобы уравнение (2.12) было уравнени-
ем в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы
производные
∂M
∂y
и
∂N
∂x
были непрерывны и удовлетворяли
условию
∂M
∂y
=
∂N
∂x
. (2.13)
Доказательство. Необходимость. Дано, что наше урав-
нение является уравнением в полных дифференциалах, то есть
выполнено
M(x, y)=
∂U
∂x
,N(x, y)=
∂U
∂y
. (2.14)
Тогда
∂M
∂y
=
∂
2
U
∂x∂y
;
∂N
∂x
=
∂
2
U
∂y∂x
.
Поскольку производные M
y
и N
x
непрерывны, вторые произ-
водные равны между собой. Вследствие равенства вторых про-
изводных условие (2.13) выполнено.
Достаточность. Пусть условие (2.13) выполнено. Найдем
такую функцию U(x, y), что M(x, y) dx + N(x, y) dy = dU.
Для этого первое из равенств (2.14) проинтегрируем по x :
U(x, y)=
x
x
0
M(x, y)dx + ϕ(y),
20
в полных дифференциалах. Тогда его можно переписать в виде
                                        ∂U      ∂U
        M (x, y) dx + N (x, y) dy =        dx +    dy = dU = 0,
                                        ∂x      ∂y
и общий интеграл такого уравнения легко находится:

                            U (x, y) = C .

    Теорема. Для того чтобы уравнение (2.12) было уравнени-
ем в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы
             ∂M     ∂N
производные      и      были непрерывны и удовлетворяли
              ∂y    ∂x
условию
                       ∂M     ∂N
                           =     .                   (2.13)
                       ∂y     ∂x
     Доказательство. Необходимость. Дано, что наше урав-
нение является уравнением в полных дифференциалах, то есть
выполнено
                                ∂U              ∂U
                   M (x, y) =      , N (x, y) =    .              (2.14)
                                ∂x              ∂y
Тогда
                ∂M    ∂ 2U   ∂N     ∂ 2U
                    =      ;     =       .
                 ∂y   ∂x∂y   ∂x    ∂y∂x
Поскольку производные My и Nx непрерывны, вторые произ-
водные равны между собой. Вследствие равенства вторых про-
изводных условие (2.13) выполнено.
    Достаточность. Пусть условие (2.13) выполнено. Найдем
такую функцию U (x, y), что M (x, y) dx + N (x, y) dy = dU.
Для этого первое из равенств (2.14) проинтегрируем по x :
                                x
                   U (x, y) =        M (x, y)dx + ϕ(y),
                                x0



                                       20

Страницы