Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

а получившееся выражение продифференцируем по y :
∂U
∂y
=
x
x
0
∂M
∂y
dx + ϕ
y
= N(x, y).
Заменяя, вследствие (2.13), производную под знаком интеграла,
получим
N(x, y)=
x
x
0
∂N
∂x
dx + ϕ
y
= N(x, y) − N(x
0
,y)+ϕ
y
,
откуда ϕ
y
= N(x
0
,y). Интегрируя это выражение, найдем
ϕ(y)=
y
y
0
N(x
0
,y)dy.
Следовательно,
U(x, y)=
x
x
0
M(x, y)dx +
y
y
0
N(x
0
,y)dy.
Теорема доказана.
Таким образом, мы показали, что если условие (2.13) вы-
полнено, то общее решение уравнения (2.12) имеет вид
U(x, y)=
x
x
0
M(x, y)dx +
y
y
0
N(x
0
,y)dy = C. (2.15)
Далеко не всегда уравнение (2.12) является уравнением в
полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях удает-
ся отыскать такую функцию μ(x, y), при умножении на кото-
рую обеих частей уравнения (2.12) оно становится уравнением
в полных дифференциалах. Такая функция μ(x, y) называется
интегрирующим множителем.Еслиμ(x, y) — интегрирующий
множитель уравнения (2.12), то
μ(x, y)(M(x, y) dx + N(x, y) dy)=dU =0
21
а получившееся выражение продифференцируем по y :
                   ∂U   x ∂M
                      =       dx + ϕy = N (x, y).
                   ∂y x0 ∂y
Заменяя, вследствие (2.13), производную под знаком интеграла,
получим
                   x   ∂N
      N (x, y) =           dx + ϕy = N (x, y) − N (x0, y) + ϕy ,
                   x0   ∂x
откуда ϕy = N (x0, y). Интегрируя это выражение, найдем
                                     y
                          ϕ(y) =          N (x0, y)dy.
                                    y0

Следовательно,
                            x                         y
            U (x, y) =           M (x, y)dx +               N (x0, y)dy.
                           x0                         y0

Теорема доказана.
    Таким образом, мы показали, что если условие (2.13) вы-
полнено, то общее решение уравнения (2.12) имеет вид
                    x                         y
       U (x, y) =        M (x, y)dx +               N (x0, y)dy = C.       (2.15)
                    x0                     y0

    Далеко не всегда уравнение (2.12) является уравнением в
полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях удает-
ся отыскать такую функцию μ(x, y), при умножении на кото-
рую обеих частей уравнения (2.12) оно становится уравнением
в полных дифференциалах. Такая функция μ(x, y) называется
интегрирующим множителем. Если μ(x, y) — интегрирующий
множитель уравнения (2.12), то

          μ(x, y)(M (x, y) dx + N (x, y) dy) = dU = 0
                                          21

Страницы