Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

находим интегрирующий множитель из уравнения
d ln μ
dx
=1,
который, очевидно, равен
μ = e
x
.
Уравнение
e
x
⎛
⎝
2xy + x
2
y +
y
3
3
⎞
⎠
dx + e
x
(x
2
+ y
2
) dy =0
является уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя его, находим
общее решение:
ye
x
⎛
⎝
x
2
+
y
3
3
⎞
⎠
= C.
В заключение отметим, что метод разделения переменных для урав-
нения с разделяющимися переменными
M
1
(x) M
2
(y) dx + N
1
(x) N
2
(y) dy =0
фактически сводится к умножению этого уравнения на интегрирующий
множитель
μ =
1
M
2
(y) N
1
(x)
.
ЛЕКЦИЯ 3
3.1. Теорема Коши существования и единственности
решения уравнения y
= f (x, y)
Нахождение решений дифференциальных уравнений ино-
гда оказывается весьма сложной задачей. Мы уже видели раз-
нообразие методов решения даже простейших дифференциаль-
ных уравнений. Закономерен вопрос: если мы применим другой
метод, решим наше дифференциальное уравнение другим спосо-
бом, не найдем ли мы другое решение, совсем не похожее на уже
23
находим интегрирующий множитель из уравнения
                                   d ln μ
                                          =1,
                                    dx
который, очевидно, равен
                                     μ = ex .
Уравнение         ⎛                   ⎞
                              2   y3 ⎠
              ex⎝
                      2xy + x y +      dx + ex (x2 + y 2 ) dy = 0
                                  3
является уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя его, находим
общее решение:                ⎛        ⎞
                                     3
                                   y
                          yex ⎝x2 + ⎠ = C .
                                   3
     В заключение отметим, что метод разделения переменных для урав-
нения с разделяющимися переменными

                  M1 (x) M2 (y) dx + N1 (x) N2 (y) dy = 0

фактически сводится к умножению этого уравнения на интегрирующий
множитель
                                 1
                         μ=               .
                            M2 (y) N1 (x)


                                  ЛЕКЦИЯ 3

 3.1. Теорема Коши существования и единственности
               решения уравнения y  = f (x, y)

     Нахождение решений дифференциальных уравнений ино-
гда оказывается весьма сложной задачей. Мы уже видели раз-
нообразие методов решения даже простейших дифференциаль-
ных уравнений. Закономерен вопрос: если мы применим другой
метод, решим наше дифференциальное уравнение другим спосо-
бом, не найдем ли мы другое решение, совсем не похожее на уже
                                          23

Страницы