Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

пространства, удовлетворяющая для любых двух точек y и z
пространства V следующим условиям: 1) ρ(y, z) ≥ 0, причем
ρ(y, y)=0 ииз ρ(y, z)=0 следует y = z;2)ρ(y, z)=ρ(z, y);
3) ρ(y, z) ≤ ρ(y, u)+ρ(u, z) − правило треугольника. Функция
ρ(y, z) называется расстоянием между точками y и z в про-
странстве V.
Определение 2. Последовательность точек y
1
,y
2
,y
3
, ...
в пространстве V называется фундаментальной, если для каж-
дого ε>0 можно найти N(ε) такое, что ρ(y
n
,y
n+m
) <εпри
n>N(ε) и любом m>0.
Определение 3. Метрическое пространство V называет-
ся полным, если в нем сходится каждая фундаментальная по-
следовательность его точек.
Определение 4. Оператор A называется сжимающим опе-
ратором если он удовлетворяет условиям:
1) оператор A переводит точки пространства V в точки
того же пространства V : если y ∈ V то A(y) ∈ V,
2) оператор A сближает точки: если y и z – любые
точки пространства V, а ρ(y, z) − расстояние между этими
точками, то ρ ( A(y),A(z))=αρ(y, z),α<1.
3.2. Принцип сжатых отображений
Теорема. Если в полном метрическом пространстве V
задан сжимающий оператор A, то существует единствен-
ная неподвижная точка ¯y, такая, что A(¯y)=¯y, простран-
ства V и эта точка может быть найдена методом последо-
вательных приближений, т.е. ¯
y =lim
n→∞
y
n
, где y
n
= A(y
n−1
),n=
25
пространства, удовлетворяющая для любых двух точек y и z
пространства V следующим условиям: 1) ρ(y, z) ≥ 0, причем
ρ(y, y) = 0 и из ρ(y, z) = 0 следует y = z; 2) ρ(y, z) = ρ(z, y);
3) ρ(y, z) ≤ ρ(y, u) + ρ(u, z) − правило треугольника. Функция
ρ(y, z) называется расстоянием между точками y и z в про-
странстве V.
    Определение 2. Последовательность точек y1, y2, y3, ...
в пространстве V называется фундаментальной, если для каж-
дого ε > 0 можно найти N (ε) такое, что ρ(yn, yn+m) < ε при
n > N (ε) и любом m > 0.
    Определение 3. Метрическое пространство V называет-
ся полным, если в нем сходится каждая фундаментальная по-
следовательность его точек.
    Определение 4. Оператор A называется сжимающим опе-
ратором если он удовлетворяет условиям:
    1) оператор A переводит точки пространства V в точки
того же пространства V : если y ∈ V то A(y) ∈ V,
    2) оператор A сближает точки: если y и z – любые
точки пространства V, а ρ(y, z) − расстояние между этими
точками, то ρ ( A(y), A(z) ) = α ρ(y, z), α < 1.

            3.2. Принцип сжатых отображений

    Теорема. Если в полном метрическом пространстве V
задан сжимающий оператор A, то существует единствен-
ная неподвижная точка ȳ, такая, что A(ȳ) = ȳ, простран-
ства V и эта точка может быть найдена методом последо-
                                  lim yn, где yn = A(yn−1), n =
вательных приближений, т.е. ȳ = n→∞

                                25

Страницы