Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1, 2, 3, ..., причем точка y
0
выбирается в пространстве V
произвольно.
Доказательство. Рассмотрим последовательность то-
чек {y
n
},y
n
= A(y
n−1
).
A. Докажем, что эта последовательность фундаментальна,
т.е. ρ(y
n
,y
n+m
) <ε,если n>N(ε). Оценим расстояние между
соседними членами этой последовательности. Пусть ρ(y
0
,y
1
) —
расстояние между первыми двумя точками. Поскольку оператор
A — сжимающий , то
ρ(y
1
,y
2
)=ρ (A(y
0
),A(y
1
)) = αρ(y
0
,y
1
),
ρ(y
2
,y
3
)=ρ (A(y
1
),A(y
2
)) = αρ(y
1
,y
2
)=α
2
ρ(y
0
,y
1
),
ρ(y
3
,y
4
)=ρ (A(y
2
),A(y
3
)) = ... = α
3
ρ(y
0
,y
1
).
Рассуждая аналогично, нетрудно показать, что
ρ(y
n+m−1
,y
n+m
)=α
n+m−1
ρ(y
0
,y
1
).
Применим (m−1) раз неравенство треугольника к ρ(y
n
,y
n+m
):
ρ(y
n
,y
n+m
) ≤ ρ(y
n
,y
n+1
)+ρ(y
n+1
,y
n+2
)+... + ρ(y
n+m−1
,y
n+m
)=
= α
n
ρ(y
0
,y
1
)+α
n+1
ρ(y
0
,y
1
)+...+α
n+m−1
ρ(y
0
,y
1
)=α
n
ρ(y
o
,y
1
)(1+
+α + α
2
+ ... + α
m−1
) <α
n
ρ(y
0
,y
1
)(1 + α + α
2
+ ... + α
m−1
+ ...)=
= ρ(y
0
,y
1
)
α
n
1 − α
<ε при достаточно большом n. Следователь-
но, последовательность {y
n
} фундаментальна, а в силу полноты
пространства V, сходится к некоторому элементу ¯y = lim
n→∞
y
n
пространства V.
B. Покажем теперь, что точка ¯y является неподвижной.
Пусть A(¯y)=
y. Применяя дважды правило треугольника, по-
лучим ρ(¯y,
y) ≤ ρ(¯y, y
n
)+ρ(y
n
,y
n+1
)+ρ(y
n+1
, y).
26
1, 2, 3, ..., причем точка y0 выбирается в пространстве V
произвольно.
     Доказательство.          Рассмотрим последовательность то-
чек {yn}, yn = A(yn−1).
     A. Докажем, что эта последовательность фундаментальна,
т.е. ρ(yn, yn+m) < ε, если n > N (ε). Оценим расстояние между
соседними членами этой последовательности. Пусть ρ(y0, y1) —
расстояние между первыми двумя точками. Поскольку оператор
A — сжимающий , то
     ρ(y1, y2) = ρ (A(y0), A(y1)) = αρ(y0, y1),
     ρ(y2, y3) = ρ (A(y1), A(y2)) = αρ(y1, y2) = α2ρ(y0, y1),
     ρ(y3, y4) = ρ (A(y2), A(y3)) = ... = α3ρ(y0, y1).
Рассуждая аналогично, нетрудно показать, что
     ρ(yn+m−1, yn+m) = αn+m−1ρ(y0, y1).
Применим (m−1) раз неравенство треугольника к ρ(yn, yn+m) :
ρ(yn, yn+m) ≤ ρ(yn, yn+1) + ρ(yn+1, yn+2) + ... + ρ(yn+m−1, yn+m) =
= αnρ(y0, y1)+αn+1ρ(y0, y1)+...+αn+m−1ρ(y0, y1) = αnρ(yo, y1)(1+
+α + α2 + ... + αm−1) < αnρ(y0, y1)(1 + α + α2 + ... + αm−1 + ...) =
             αn
= ρ(y0, y1)       < ε при достаточно большом n. Следователь-
            1−α
но, последовательность {yn} фундаментальна, а в силу полноты
пространства V, сходится к некоторому элементу ȳ = n→∞
                                                     lim yn
пространства V.
     B. Покажем теперь, что точка ȳ является неподвижной.
Пусть A(ȳ) = y. Применяя дважды правило треугольника, по-
лучим ρ(ȳ, y) ≤ ρ(ȳ, yn) + ρ(yn, yn+1) + ρ(yn+1, y).
                                  26

Страницы