Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
y
(x,y
00
)
x+h
0
x+a
0
x-h
0
x-a
0
x
0
y-b
0
y+b
0
y
0
y=y(x)
Рис. 2.
Заметим, что дифференциальное уравнение y
= f(x, y) сна-
чальным условием y
0
= y(x
0
) эквивалентно интегральному
уравнению
y = y
0
+
x
x
0
f(t, y)dt. (3.2)
Рассмотрим оператор
A(y)=y
0
+
x
x
0
f(t, y)dt. (3.3)
Потребуем, чтобы этот оператор каждой непрерывной функции
y(x), заданной на отрезке [ x
0
− h, x
0
+ h ] и не выходя-
щей из прямоугольника D, ставил в соответствие непрерывную
функцию A(y), заданную на том же отрезке и график которой
также не выходил бы из области D. Иначе говоря, потребу-
ем, что если |y − y
0
| <b при x ∈ [ x
0
− h, x
0
+ h ], то
и |A(y) − y
0
| <b при тех же значениях x. Из последнего
неравенства следует
x
x
0
f(t, y)dt
≤ Mh ≤ b. При выполне-
нии этого неравенства оператор A(y) удовлетворяет условию
28
                     y
                                                                           y=y(x)
            y0 + b


                y0                           (x0 ,y0)



            y0 - b


                                    x0 - h                       x0+ h              x
                         x0 - a                       x0                  x0+ a

                                         Рис. 2.

Заметим, что дифференциальное уравнение y  = f (x, y) с на-
чальным условием y0 = y(x0) эквивалентно интегральному
уравнению
                                                x
                             y = y0 +                f (t, y)dt.                           (3.2)
                                               x0
    Рассмотрим оператор
                                                     x
                          A(y) = y0 +                       f (t, y)dt.                    (3.3)
                                                    x0

Потребуем, чтобы этот оператор каждой непрерывной функции
y(x), заданной на отрезке [ x0 − h,                                x0 + h ] и не выходя-
щей из прямоугольника D, ставил в соответствие непрерывную
функцию A(y), заданную на том же отрезке и график которой
также не выходил бы из области D. Иначе говоря, потребу-
ем, что если |y − y0| < b при x ∈ [ x0 − h,                                         x0 + h ], то
и |A(y) − y0| < b при
                   
                      тех же значениях
                              
                                       x. Из последнего
                              x                       
                                                       
                                                       
неравенства следует          
                                   f (t, y)dt ≤ M h ≤ b. При выполне-
                                                        
                                                        
                             x                         
                                0
нии этого неравенства оператор A(y) удовлетворяет условию
                                               28

Страницы