Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, нами доказаны существование и единственность ре-
шения уравнения y
= f(x, y) на интервале J =[x
0
− h, x
0
+ h ]. Если
при этом мы не вышли из прямоугольника D, где выполняются условия
теоремы Коши, то решение может быть продолжено. В самом деле, пусть
x
(1)
0
= x
0
+ h, y
(1)
0
= y(x
(1)
0
) - новые начальные данные (точка (x
(1)
0
,y
(1)
0
)
на интегральной кривой — см. рис. 3.) По доказанной теореме Коши, в за-
x
y
(x,y
00
)
(x,y
(1)
00
()1
)
x-h
(1)
01
xh
(1)
01
+
x
(1)
0
y=f(x)
x =x +h, y =y( x )
(1) (1) (1)
00 0 0
x+h
0
x-h
0
J=[
,
]
xh
(1)
01
+
x-h
(1)
01
,
]
[
J=
1
Рис. 3.
мкнутом интервале J
1
:[x
(1)
0
− h
1
≤ x ≤ x
(1)
0
+ h
1
], если он не выходит за
пределы прямоугольника D, существует единственное решение. Поскольку
середина J
1
совпадает с концом J и оба построенных решения прини-
мают в этой точке одно и то же значение y
(1)
0
, то, в силу единственности,
оба решения совпадают в общей части J и J
1
. Но половина интервала
[ x
(1)
0
,x
(1)
0
+ h
1
] лежит вне J. Поэтому найденное решение y
1
(x) назо-
вём "продолжением"полученного ранее решения y(x) в J. Этот процесс
можно продолжить и для левой половины интервала, где x<x
0
. Можно
доказать, что с помощью таких продолжений можно подойти сколь угодно
близко к границе области D.
Теорема Коши доказывает существование частного решения, опреде-
ленного начальными данными. Из этой теоремы легко получить построе-
ние общего решения в некоторой ограниченной области. Рассмотрим пря-
30
    Таким образом, нами доказаны существование и единственность ре-
шения уравнения y  = f (x, y) на интервале J = [ x0 − h, x0 + h ]. Если
при этом мы не вышли из прямоугольника D, где выполняются условия
теоремы Коши, то решение может быть продолжено. В самом деле, пусть
 (1)          (1)    (1)                                   (1) (1)
x0 = x0 + h, y0 = y(x0 ) - новые начальные данные (точка (x0 , y0 )
на интегральной кривой — см. рис. 3.) По доказанной теореме Коши, в за-
                                                                                y=f(x)
                        y
                                                                  (1)   (1)
                                                                (x 0 ,y 0)


                                        (x0 ,y0)




                                                                                         x
                                                            (1)               (1)
                                                           x 0 - h1 x(1)0 x 0 + h1
                  (1)          (1)      (1)
                 x 0=x0+h, y 0=y( x           0   )
                 J=[ x0 - h , x0+ h ]             J1 = [ x 0 - h1 , x 0 + h1 ]
                                                          (1)        (1)




                                              Рис. 3.

                              (1)                               (1)
мкнутом интервале J1 : [ x0 − h1 ≤ x ≤ x0 + h1 ], если он не выходит за
пределы прямоугольника D, существует единственное решение. Поскольку
середина J1 совпадает с концом J и оба построенных решения прини-
                                         (1)
мают в этой точке одно и то же значение y0 , то, в силу единственности,
оба решения совпадают в общей части J и J1 . Но половина интервала
   (1) (1)
[ x0 , x0 + h1 ] лежит вне J. Поэтому найденное решение y1 (x) назо-
вём "продолжением"полученного ранее решения y(x) в J. Этот процесс
можно продолжить и для левой половины интервала, где x < x0 . Можно
доказать, что с помощью таких продолжений можно подойти сколь угодно
близко к границе области D.
      Теорема Коши доказывает существование частного решения, опреде-
ленного начальными данными. Из этой теоремы легко получить построе-
ние общего решения в некоторой ограниченной области. Рассмотрим пря-

                                                      30

Страницы