Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

моугольник D.
D :
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
0
− a ≤ x ≤ x
0
+ a,
y
0
− b ≤ y ≤ y
0
+ b.
Зафиксируем x
0
, начальное условие y
0
=¯y
0
будем считать вещественным
параметром, меняющимся в интервале ¯y
0
∈ [ y
0
−
b
2
,y
0
+
b
2,
]. Тогда
при любом выборе ¯y
0
переменная не выйдет из D, если ¯y
0
−
b
2
≤
y ≤ ¯y
0
+
b
2
. Поэтому для всех начальных значений (x
0
, ¯y
0
) решение
дифференциального уравнения будет существовать при x ∈ (x
0
−
¯
h, x
0
+
¯
h),
где
¯
h =min(a,
b
2M
). Тем самым мы получим семейство решений y(x)=
ϕ(x, c), где c = y
0
, непрерывно ( это можно показать) зависящее от
параметра c.
Замечание 1. Если функция f(x, y) имеет непрерывную в
D производную f
y
(x, y), то условие Липшица удовлетворено
автоматически:
|f(x, y
1
) −f(x, y
2
)| =
f
y
(x, y
1
+ θ(y
1
− y
2
)
|y
1
− y
2
|≤N |y
1
− y
2
|,
где N =max
f
y
(x, y)
в области D. В замкнутой области,
вследствие непрерывности производной, этот максимум всегда
существует.
Замечание 2. Пусть D — некоторая область на плос-
кости (x, y), где для функции f(x, y) выполнены условия
теоремы Коши. Тогда можно доказать, что через каждую точку
этой области проходит одна и только одна интегральная кривая
уравнения y
= f(x, y).
Теорема (о непрерывной зависимости решения от пара-
метра и от начальных условий). Если правая часть дифферен-
циального уравнения
y
= f(x, y, μ)
31
моугольник D.                      ⎧
                                   ⎪
                             x0 − a ≤ x ≤ x0 + a,
                                   ⎨
                           ⎪
                            D:
                           ⎩ y − b ≤ y ≤ y + b.
                              0            0
Зафиксируем x0 , начальное условие y0 = ȳ0 будем считать вещественным
                                                    b       b
параметром, меняющимся в интервале ȳ0 ∈ [ y0 − , y0 +         ]. Тогда
                                                    2       2,
                                                                    b
при любом выборе ȳ0 переменная не выйдет из D, если ȳ0 −            ≤
                                                                   2
          b
y ≤ ȳ0 + . Поэтому для всех начальных значений (x0 , ȳ0 ) решение
          2
дифференциального уравнения будет существовать при x ∈ (x0 −h̄, x0 +h̄),
где h̄ = min(a, 2M
                 b
                   ). Тем самым мы получим семейство решений y(x) =
ϕ(x, c),   где   c = y0 ,   непрерывно ( это можно показать) зависящее от
параметра c.

      Замечание 1. Если функция f (x, y) имеет непрерывную в
D производную fy (x, y), то условие Липшица удовлетворено
автоматически:
                                                        
                                                       
|f (x, y1) − f (x, y2)| = f (x, y1 + θ(y1 − y ) |y1 − y2| ≤ N |y1 − y2| ,
                             
                              y
                                                         
                                                       2 
                              
                             
где N = max f (x, y)
                     y
                               
                                  в области D. В замкнутой области,
вследствие непрерывности производной, этот максимум всегда
существует.
      Замечание 2. Пусть                D — некоторая область на плос-
кости (x, y), где для функции f (x, y) выполнены условия
теоремы Коши. Тогда можно доказать, что через каждую точку
этой области проходит одна и только одна интегральная кривая
уравнения y  = f (x, y).

      Теорема (о непрерывной зависимости решения от пара-
метра и от начальных условий). Если правая часть дифферен-
циального уравнения
                                   y  = f (x, y, μ)
                                          31

Страницы