Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1) все функции f
i
(x, y
1
,y
2
, ..., y
n
)(i =1, 2, ..., n) непре-
рывны, а следовательно, ограничены: |f
i
(x, y
1
,y
2
, ..., y
n
)|≤M,
2) все функции f
i
(x, y
1
,y
2
, ..., y
n
)(i =1, 2, ..., n) удовле-
творяют условию Липшица
|f
i
(x, y
1
,y
2
, ..., y
n
) − f
i
(x, z
1
,z
2
, ..., z
n
)|≤N
n
i=1
|y
i
− z
i
|. (4.3)
Точкой полного метрического пространства V , в котором
будет действовать сжимающий оператор A (см. пункт (3.1)
лекции 3), будет теперь система n непрерывных функций
(y
1
,y
2
, ..., y
n
), то есть n-мерная вектор-функция Y (x) ско-
ординатами y
1
(x),y
2
(x), ..., y
n
(x), определённая на отрезке
x
0
− h ≤ x ≤ x
0
+ h, где h<min [ a,
b
1
M
,
b
2
M
, ... ,
b
n
M
,
1
nN
],
точнее постоянная h будет определена ниже.
Расстояние в пространстве интересующих нас n-мерных
вектор-функций Y (x) определим равенством
ρ (Y (x),Z(x)) =
n
i=1
max |y
i
− z
i
|, (4.4)
где z
1
(x),z
2
(x), ..., z
n
(x) - координаты вектор-функции Z(x).
Нетрудно проверить, что при таком определении расстоя-
ния, множество n-мерных вектор-функций Y (x) превращается
в полное метрическое пространство. Сжимающий оператор A
определим равенством (в виде набора n интегралов):
A[ Y ]=(y
10
+
x
x
0
f
1
(t, y
1
,y
2
, ...,y
n
) dt, y
20
+
x
x
0
f
2
(t, y
1
,y
2
, ...,y
n
) dt,
... , y
n0
+
x
x
0
f
n
(t, y
1
,y
2
, ...,y
n
) dt), то есть при действии оператора
A на точку (y
1
,y
2
, ..., y
n
) получим точку того же пространства
33
      1) все функции fi(x, y1, y2, ..., yn)                 (i = 1, 2, ..., n) непре-
рывны, а следовательно, ограничены: |fi(x, y1, y2, ..., yn)| ≤ M,
      2) все функции fi(x, y1, y2, ..., yn)                 (i = 1, 2, ..., n) удовле-
творяют условию Липшица
                                                                    n
                                                                    
   |fi(x, y1, y2, ..., yn) − fi(x, z1, z2, ..., zn)| ≤ N                  |yi − zi|.   (4.3)
                                                                    i=1

      Точкой полного метрического пространства V , в котором
будет действовать сжимающий оператор A (см. пункт (3.1)
лекции 3), будет теперь система                        n   непрерывных функций
(y1, y2, ..., yn), то есть n-мерная вектор-функция Y (x) с ко-
ординатами y1(x), y2(x), ..., yn(x), определённая на отрезке
                                       b 1 b2        bn 1
x0 − h ≤ x ≤ x0 + h, где h < min [ a,     ,   , ... , ,   ],
                                      M M            M nN
точнее постоянная h будет определена ниже.
      Расстояние в пространстве интересующих нас n-мерных
вектор-функций Y (x) определим равенством
                                                  n
                                                  
                        ρ (Y (x), Z(x)) =             max |yi − zi|,                   (4.4)
                                               i=1

где z1(x), z2(x), ..., zn(x) - координаты вектор-функции Z(x).
      Нетрудно проверить, что при таком определении расстоя-
ния, множество n-мерных вектор-функций Y (x) превращается
в полное метрическое пространство. Сжимающий оператор A
определим равенством (в виде набора n интегралов):
                       x                                     x
A[ Y ] = (y10 +             f1(t, y1, y2, ...,yn) dt, y20 +        f2(t, y1, y2, ...,yn) dt,
                      x0                                      x0
              x
... , yn0 +        fn(t, y1, y2, ...,yn) dt), то есть при действии оператора
              x0
A на точку (y1, y2, ..., yn) получим точку того же пространства

                                             33

Страницы