Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

с координатами, равными правым частям системы (4.2). Точ-
ка A[ Y ] принадлежит пространству непрерывных функций,
так как все ее координаты являются непрерывными функциями.
Однако необходимо, чтобы ее координаты не выходили из обла-
сти D, если координаты вектор-функции Y (x) не выходят из
области D. Это условие будет выполнено, если | y
i
− y
i0
|≤b
i
то есть будет выполнено
y
i0
+
x
x
0
f
i
(t, y
1
,y
2
, ..., y
n
)dt − y
i0
=
=
x
x
0
f
i
(t, y
1
,y
2
, ..., y
n
)dt
≤ M
x
x
0
dt
≤ Mh ≤ b
i
. Это условие, в
свою очередь, будет выполнено, если h ≤
b
i
M
.
Остается проверить выполнение условия 2) принципа сжа-
тых отображений, а именно, оператор A[ Y ] сближает точки,
то есть ρ(A[Y ],A[Z]) =
=
n
i=i
max
x
x
0
[f
i
(t, y
1
,y
2
, ..., y
n
) − f
i
(t, z
1
,z
2
, ..., z
n
)]dt
≤
≤
n
i=1
max
x
x
0
|f
i
(t, y
1
,y
2
, ..., y
n
) − f
i
(t, z
1
,z
2
, ..., z
n
) |dt
≤
≤ N
n
i=1
max |y
i
− z
i
|·n · max
x
x
0
dt
= Nρ(Y,Z)nh. Следователь-
но, если выбрать Nnh = α<1 или h =
α
Nn
, где α<1,
то условие 2) определения сжимающего оператора будет удовле-
творено и будет существовать единственная неподвижная точка
¯
Y, причем ее можно найти методом последовательных прибли-
жений. Но условие
¯
Y = A(
¯
Y ) по определению оператора A
эквивалентно тождествам
¯y
i
≡ y
i0
+
x
x
0
f
i
(t, ¯y
1
, ¯y
2
, ..., ¯y
n
)dt, (i =1, 2, ...n),
34
с координатами, равными правым частям системы (4.2). Точ-
ка A[ Y ] принадлежит пространству непрерывных функций,
так как все ее координаты являются непрерывными функциями.
Однако необходимо, чтобы ее координаты не выходили из обла-
сти D, если координаты вектор-функции Y (x) не выходят из
области D. Это условие будет
                        
                             выполнено, если                                            | yi − yi0 | ≤ bi
                                                            x                                         
                                                                                                       
                                                                                                       
то есть будет выполнено                        
                                                  yi0 +             fi(t, y1, y2, ..., yn)dt − y   i0    =
                                                           x0                                          
                                                                   
     x                                              x            
                                                                   
                                                                   
=   
          fi(t, y1, y2, ..., yn)dt ≤ M    
                                           
                                                      
                                                            dt ≤ M h ≤ bi. Это условие, в
                                                                      
                                                                      
    x                                               x              
       0                                                 0
                                              bi
свою очередь, будет выполнено, если h ≤          .
                                              M
           Остается проверить выполнение условия 2) принципа сжа-
тых отображений, а именно, оператор A[ Y ] сближает точки,
то есть ρ(A[Y ], A[Z]) =
                                                                                         
                   x                                                                    
    n
                                                                                        
                                                                                         
=          max    
                         [fi(t, y1, y2, ..., yn) − fi(t, z1, z2, ..., zn)]dt ≤           
                                                                                          
    i=i           x                                                                      
                     0
                                                                                             
                    x                                                                       
    n
                                                                                            
                                                                                             
≤          max     
                         |fi(t, y1, y2, ..., yn) − fi(t, z1, z2, ..., zn) | dt ≤             
                                                                                              
    i=1            x                                                                         
                      0
                                                                
           n
                                                     x        
                                                                
≤N               max |yi − zi| · n · max
                              dt = N ρ(Y, Z)nh. Следователь-
                                                     
                                                     x
                                                                 
                                                                 
           i=1                                          0
                                            α
но, если выбрать N nh = α < 1 или h =         , где α < 1,
                                           Nn
то условие 2) определения сжимающего оператора будет удовле-
творено и будет существовать единственная неподвижная точка
Ȳ , причем ее можно найти методом последовательных прибли-
жений. Но условие Ȳ = A(Ȳ ) по определению оператора A
эквивалентно тождествам
                                 x
                 ȳi ≡ yi0 +          fi(t, ȳ1, ȳ2, ..., ȳn)dt,             (i = 1, 2, ...n),
                                x0


                                                            34

Страницы