Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

непрерывна по μ при μ
0
≤ μ ≤ μ
1
и удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности решения, причём
постоянная Липшица N не зависит от μ, то решение урав-
нения y(x, μ), удовлетворяющее условию y(x
0
)=y
0
, непре-
рывно зависит от параметра μ.
Эту теорему мы доказывать не будем.
ЛЕКЦИЯ 4
4.1. Теорема Коши существования и единственности
решения системы уравнений
На прошлой лекции мы доказали теорему Коши существо-
вания и единственности решения уравнений вида y
= f(x, y).
Совершенно аналогично можно доказать теорему существо-
вания и единственности решения для системы уравнений
dy
i
dx
= f
i
(x, y
1
,y
2
, ..., y
n
),y
i
(x
0
)=y
i0
, (i =1, 2, ..., n). (4.1)
Перепишем систему дифференциальных уравнений в виде
системы интегральных уравнений
y
i
= y
i0
+
x
x
0
f
i
(t, y
1
,y
2
, ..., y
n
)dt, (4.2)
в предположении, что в области D, определенной неравенства-
ми
D :
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x
0
− a ≤ x ≤ x
0
+ a,
y
i0
− b
i
≤ y
i
≤ y
i0
+ b
i
(i =1, 2, ..., n),
правые части удовлетворяют условиям:
32
непрерывна по μ при μ0 ≤ μ ≤ μ1 и удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности решения, причём
постоянная Липшица N не зависит от μ, то решение урав-
нения y(x, μ), удовлетворяющее условию y(x0) = y0, непре-
рывно зависит от параметра μ.
     Эту теорему мы доказывать не будем.

                                ЛЕКЦИЯ 4


 4.1. Теорема Коши существования и единственности
                    решения системы уравнений

     На прошлой лекции мы доказали теорему Коши существо-
вания и единственности решения уравнений вида y  = f (x, y).
     Совершенно аналогично можно доказать теорему существо-
вания и единственности решения для системы уравнений
dyi
    = fi(x, y1, y2, ..., yn),     yi(x0) = yi0, (i = 1, 2, ..., n).         (4.1)
dx
     Перепишем систему дифференциальных уравнений в виде
системы интегральных уравнений
                                 x
                    yi = yi0 +        fi(t, y1, y2, ..., yn)dt,             (4.2)
                                 x0

в предположении, что в области D, определенной неравенства-
ми              ⎧
                ⎪
                ⎪
                ⎨   x0 − a ≤ x ≤ x0 + a,
         D:     ⎪                                     (i = 1, 2, ..., n),
              yi0 − bi ≤ yi ≤ yi0 + bi
                ⎪
                ⎩

правые части удовлетворяют условиям:


                                         32

Страницы