Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Кривая, состоящая из особых точек, называется особой.
Если график некоторого решения сплошь состоит из осо-
бых точек, то решение называется особым.
Для нахождения особых точек или особых кривых необхо-
димо, прежде всего, найти множество точек, в которых нару-
шены условия теоремы Коши существования и единственности
решения, так как только среди них могут быть особые точки.
Разумеется, не каждая точка, в которой нарушены условия су-
ществования и единственности решения, обязательно является
особой, поскольку условия теоремы достаточны для существо-
вания и единственности решения, но они не являются необходи-
мыми.
Первое условие теоремы Коши существования и единствен-
ности решения нарушается в точках разрыва функции f(x, y),
причем если при приближении по любому пути точки (x, y)
к точке (x
0
,y
0
), то есть (x, y) → (x
0
,y
0
) (некоторой изоли-
рованной точке разрыва), функция f(x, y) →∞, то вместо
уравнения
dy
dx
= f(x, y) можно рассматривать уравнение
dx
dy
=
1
f(x, y)
, правая часть которого становится непрерывной в точке
(x
0
,y
0
), если считать, что
1
f(x, y)
→ 0.
Следовательно, в задачах, где x и y равнозначны, первое
условие теоремы Коши нарушается в тех точках, в которых
функции f(x, y) и
1
f(x, y)
разрывны. Особенно часто при-
ходится рассматривать уравнения вида
dy
dx
=
M(x, y)
N(x, y)
, где
функции M (x, y) и N(x, y) непрерывны. В этом случае функ-
36
    Кривая, состоящая из особых точек, называется особой.
    Если график некоторого решения сплошь состоит из осо-
бых точек, то решение называется особым.
    Для нахождения особых точек или особых кривых необхо-
димо, прежде всего, найти множество точек, в которых нару-
шены условия теоремы Коши существования и единственности
решения, так как только среди них могут быть особые точки.
Разумеется, не каждая точка, в которой нарушены условия су-
ществования и единственности решения, обязательно является
особой, поскольку условия теоремы достаточны для существо-
вания и единственности решения, но они не являются необходи-
мыми.
    Первое условие теоремы Коши существования и единствен-
ности решения нарушается в точках разрыва функции f (x, y),
причем если при приближении по любому пути точки (x, y)
к точке (x0, y0), то есть (x, y) → (x0, y0) (некоторой изоли-
рованной точке разрыва), функция f (x, y) → ∞, то вместо
              dy                                          dx
уравнения        = f (x, y) можно рассматривать уравнение     =
              dx                                           dy
   1
         , правая часть которого становится непрерывной в точке
f (x, y)
                                1
(x0, y0), если считать, что           → 0.
                             f (x, y)
      Следовательно, в задачах, где x и y равнозначны, первое
условие теоремы Коши нарушается в тех точках, в которых
                       1
функции f (x, y) и           разрывны. Особенно часто при-
                    f (x, y)
                                        dy    M (x, y)
ходится рассматривать уравнения вида       =           , где
                                        dx    N (x, y)
функции M (x, y) и N (x, y) непрерывны. В этом случае функ-
                              36

Страницы