Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ции
M(x, y)
N(x, y)
и
N(x, y)
M(x, y)
будут одновременно разрывны лишь
в точках (x
0
,y
0
), в которых M(x
0
,y
0
)=N(x
0
,y
0
)=0 и не су-
ществует пределов lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
M(x, y)
N(x, y)
и lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
N(x, y)
M(x, y)
.
Рассмотрим несколько типичных особых точек уравнения
dy
dx
=
M(x, y)
N(x, y)
.
Пример 1.
dy
dx
=
2y
x
, или, что то же
dx
dy
=
x
2y
.
Правые части этих уравнений разрывны
x
y
Рис. 4. Узел
в точке (x
0
,y
0
)=(0, 0). Действительно, пре-
дел lim
(x,y)→(0,0)
2y
x
зависит от пути. Для то-
го чтобы убедиться в этом, рассмотрим путь
y = kx, ∀k. Ясно, что когда x → 0, то и
y → 0. Тогда lim
(x,y)→(0,0)
2kx
x
=2k. Поскольку
здесь k — любое число, то и значение предела
произвольно, т.е. предел функции зависит от пути стремления
точки (x, y) к точке (0, 0), а это значит, что предел нашей
функции в данной точке не существует. Интегрируя уравнение,
получим y = Cx
2
- семейство квадратичных парабол, прохо-
дящих через точку x =0,y=0.
Через эту точку, в которой нарушено первое условие теоре-
мы Коши - непрерывность правой части уравнения - проходит
бесконечно много интегральных кривых исследуемого уравне-
ния. Решение в этой точке существует, но оно не единственно.
Начало координат – особая точка уравнения, называемая узлом.
Поведение интегральных кривых в окрестности этой особой точ-
37
     M (x, y)     N (x, y)
ции            и              будут одновременно разрывны лишь
     N (x, y)     M (x, y)
в точках (x0, y0), в которых M (x0, y0) = N (x0, y0) = 0 и не су-
                                     M (x, y)                     N (x, y)
ществует пределов         lim                   и      lim                 .
                     (x,y)→(x0 ,y0 ) N (x, y)     (x,y)→(x0 ,y0 ) M (x, y)

Рассмотрим несколько типичных особых точек уравнения
                            dy M (x, y)
                                 =            .
                            dx N (x, y)
                   dy        2y                           dx         x
     Пример 1.           =       , или, что то же                =     .
                   dx        x                            dy        2y
     Правые части этих уравнений разрывны
                                                                 y
в точке (x0, y0) = (0, 0). Действительно, пре-
                 2y
дел      lim        зависит от пути. Для то-
     (x,y)→(0,0) x
го чтобы убедиться в этом, рассмотрим путь                                  x

y = kx, ∀k. Ясно, что когда x → 0, то и
                         2kx
y → 0. Тогда      lim        = 2k. Поскольку
              (x,y)→(0,0) x
здесь k — любое число, то и значение предела               Рис. 4.   Узел

произвольно, т.е. предел функции зависит от пути стремления
точки (x, y) к точке (0, 0), а это значит, что предел нашей
функции в данной точке не существует. Интегрируя уравнение,
получим y = Cx2 - семейство квадратичных парабол, прохо-
дящих через точку x = 0, y = 0.
      Через эту точку, в которой нарушено первое условие теоре-
мы Коши - непрерывность правой части уравнения - проходит
бесконечно много интегральных кривых исследуемого уравне-
ния. Решение в этой точке существует, но оно не единственно.
Начало координат – особая точка уравнения, называемая узлом.
Поведение интегральных кривых в окрестности этой особой точ-

                                     37

Страницы