Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 39 стр.

семейство окружностей с центром в точке (0, 0) – начале коорди-
нат. В этом примере не существует решения, удовлетворяющего
условию y(0) = 0. Особая точка такого типа, то есть особая
точка, окрестность которой заполнена семейством замкнутых
интегральных кривых (см. рис. 7), называется центром.
    Можно показать, (мы этого делать не
                                                     y
будем), что только непрерывности правой
части уравнения y  = f (x, y) без выпол-
нения второй части требования теоремы                           x


Коши — условия Липшица — недостаточно
для единственности решения. Однако су-
                                                Рис. 7. Центр
ществование решения при этом уже обес-
печивается.
    Второе условие — условие Липшица, или более грубое усло-
вие, требующее существования ограниченной производной fy ,
чаще всего нарушается в точках, при приближении к которым
эта производная неограниченно возрастает, т.е. точках, в кото-
      1                     1
рых  = 0. Уравнение             = 0, вообще говоря, определя-
     fy                 fy (x, y)
ет некоторую кривую, в точках которой, как мы уже сказали вы-
ше, может быть нарушена единственность решения. Если в точ-
ках этой кривой единственность нарушена, то кривая называет-
ся особой кривой, а если, кроме того, эта кривая окажется ещё
и интегральной, то мы получим особую интегральную кривую.
                                                     1
Возможно, что кривая, описываемая уравнением              = 0,
                                                 fy (x, y)
имеет несколько ветвей, тогда для каждой ветви необходимо ре-
шить вопрос о том, является ли она особой кривой, и если да,

                              39