Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ЛЕКЦИЯ 5
5.1. Уравнения, не разрешённые относительно
производной
Общий вид уравнения, не разрешённого относительно про-
изводной имеет вид: F (x, y, y
)=0. При решении этих уравне-
ний чаще всего могут встретиться следующие случаи.
(1) Если это уравнение удаётся разрешить относитель-
но производной y
, то получаем одно или несколько уравне-
ний y
= f
i
(x, y)(i =1, 2, ...), при интегрировании которых
можно найти решения исходного уравнения. В частности, если
F (x, y, y
) ≡ A
n
(x, y)(y
)
n
+ A
n−1
(x, y)(y
)
n−1
+ ... + A
1
(x, y)y
+
A
0
(x, y)=0, то рассматривая это уравнение как алгебраиче-
ское уравнение относительно y
, найдём, вообще говоря, n
решений. Таким образом, мы получим n уравнений первого
порядка, разрешенных относительно производной, которые ре-
шаем обычными методами.
Пример. x(y
)
2
−2yy
+4x =0. Разрешим уравнение
относительно производной: y
=
y ±
√
y
2
− 4x
2
x
. Это однород-
ное уравнение. Обозначая
y
x
= t, получим t
x = ±
√
t
2
− 4.
Разделяя переменные получим:
dt
√
t
2
− 4
= ±
dx
x
, откуда
ln
⎛
⎜
⎜
⎝
t
2
+
⎛
⎝
t
2
⎞
⎠
2
− 1
⎞
⎟
⎟
⎠
+ C = ± ln x, или
y
1
2x
+
y
1
2x
2
− 1+C
1
= x, и
y
2
2x
+
y
2
2x
2
− 1+C
2
=
1
x
, то есть
41
                            ЛЕКЦИЯ 5


      5.1. Уравнения, не разрешённые относительно
                            производной

     Общий вид уравнения, не разрешённого относительно про-
изводной имеет вид: F (x, y, y ) = 0. При решении этих уравне-
ний чаще всего могут встретиться следующие случаи.
       (1) Если это уравнение удаётся разрешить относитель-
но производной y , то получаем одно или несколько уравне-
ний y  = fi(x, y) (i = 1, 2, ...), при интегрировании которых
можно найти решения исходного уравнения. В частности, если
F (x, y, y ) ≡ An(x, y)(y )n + An−1(x, y)(y )n−1 + ... + A1(x, y)y  +
A0(x, y) = 0, то рассматривая это уравнение как алгебраиче-
ское уравнение относительно y , найдём, вообще говоря, n
решений. Таким образом, мы получим n уравнений первого
порядка, разрешенных относительно производной, которые ре-
шаем обычными методами.
     Пример.           x(y )2 − 2yy  + 4x = √0. Разрешим уравнение
                                         y ± y 2 − 4x2
относительно производной: y =                            . Это однород-
                                   y             x               √
ное уравнение. Обозначая               = t, получим tx = ± t2 − 4.
                                  x
                                               dt           dx
Разделяя переменные получим:                √        =   ±      , откуда
   ⎛                ⎞                        t −4
                                               2             x
         ⎛ ⎞ 2
          t
   ⎜t               ⎟
ln ⎝ + ⎝ ⎠ − 1⎟
   ⎜
                     ⎠ + C = ± ln x,         или
     2       2
                                          
            2                            
 y1    y                           y      y 2              1
           1                           2      2
    +          − 1 + C1 = x, и          +        − 1 + C2 = , то есть
2x       2x                          2x       2x              x


                                   41

Страницы