Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

получим два решения исходного уравнения.
(2) F(x, y
)=0. Существуют два подхода к решению
уравнений такого вида.
(a) Разрешим уравнение относительно y
, если это воз-
можно, и далее решаем обычными методами.
(b) Если разрешить уравнение обычным приемом отно-
сительно производной нельзя, то введем параметр p : x =
ϕ(p),y
= ψ(p) такой, что F (ϕ(p),ψ(p)) ≡ 0. Посколь-
ку dy = y
dx, то dy = ψ(p)dϕ(p)=ψ(p) · ϕ
(p)dp или
y =
ψ(p) · ϕ
(p)dp + C. Таким образом, мы получили решение
уравнения в параметрическом виде:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x = ϕ(p),
y =
ψ(p) · ϕ
(p)dp + C.
(3) F(y, y
)=0. Если уравнение трудно разрешить отно-
сительно y
, то вновь вводим параметр p : y = ϕ(p),y
= ψ(p)
такой, что F (ϕ(p),ψ(p)) ≡ 0. Поскольку
dy = y
dx, то dx =
dy
y
=
dϕ(p)
ψ(p)
=
ϕ
(p)dp
ψ(p)
, или x + C =
=
ϕ
(p)
ψ(p)
dp. Таким образом, мы снова получили решение в
параметрическом виде:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x + C =
ϕ
(p)
ψ(p)
dp,
y = ϕ(p).
(4) Уравнение Лагранжа. Это уравнение, общий вид
которого может быть записан в виде: A(y
)y + B(y
)x = C(y
)
или y = ϕ(y
)x + ψ(y
). Будем решать это уравнение мето-
дом введения параметра. Полагаем y
= p, dy = pdx. Тогда
42
получим два решения исходного уравнения.
         (2)   F(x, y) = 0. Существуют два подхода к решению
уравнений такого вида.
         (a) Разрешим уравнение относительно y , если это воз-
можно, и далее решаем обычными методами.
         (b) Если разрешить уравнение обычным приемом отно-
сительно производной нельзя, то введем параметр p :              x =
ϕ(p), y  = ψ(p) такой, что           F (ϕ(p), ψ(p)) ≡ 0.    Посколь-
ку   dy = y dx, то       dy = ψ(p)dϕ(p) = ψ(p) · ϕ(p)dp        или
     
y=       ψ(p) · ϕ(p)dp + C. Таким образом, мы получили решение
уравнения в параметрическом виде:
                     ⎧
                     ⎪
                     ⎪
                     ⎨   x = ϕ(p),
                     ⎪         
                     ⎪
                     ⎩   y = ψ(p) · ϕ(p)dp + C.
         (3) F(y, y) = 0. Если уравнение трудно разрешить отно-
сительно y , то вновь вводим параметр p : y = ϕ(p), y  = ψ(p)
такой, что F (ϕ(p), ψ(p)) ≡ 0. Поскольку
                      dy    dϕ(p)    ϕ(p)dp
 dy = y dx, то dx =  =            =          , или x + C =
                       y     ψ(p)      ψ(p)
    ϕ (p)
=           dp. Таким образом, мы снова получили решение в
     ψ(p)
параметрическом виде:
                          ⎧
                          ⎪
                          ⎪
                          ⎪
                          ⎪
                                         ϕ(p)
                          ⎪
                          ⎨   x+C =             dp,
                          ⎪
                                          ψ(p)
                          ⎪
                          ⎪
                          ⎪
                          ⎪
                          ⎩   y = ϕ(p).
         (4) Уравнение Лагранжа. Это уравнение, общий вид
которого может быть записан в виде: A(y )y + B(y )x = C(y )
или y = ϕ(y )x + ψ(y ). Будем решать это уравнение мето-
дом введения параметра. Полагаем y  = p,             dy = pdx. Тогда
                                     42

Страницы