Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y = ϕ(p)x + ψ(p),dy= xϕ
p
(p)dp + ϕ(p)dx + ψ
p
(p)dp = pdx,
откуда (p − ϕ(p)) dx =
xϕ
p
(p)+ψ
p
(p)
dp или
dx
dp
≡ x
p
=
ϕ
p
(p)
p − ϕ(p)
x(p)+
ψ
p
(p)
p − ϕ(p)
. (Случай, когда ϕ(p)=p рассмот-
рим ниже, когда будем рассматривать уравнение Клеро.) От-
сюда следует, что уравнение может быть представлено в виде
x
p
+ a(p)x = b(p). Это линейное относительно x(p) уравнение
первого порядка, метод решения которого нам уже известен.
(5) Уравнение Клеро. Частным случаем уравнения Лагран-
жа является уравнение y = y
· x + ψ(y
). (Здесь ϕ(y
)=y
).
Как и в предыдущем случае, введём параметр y
= p, dy =
pdx. Тогда y = p·x+ψ(p). Продифференцируем это выражение
и после простых преобразований получим
dp
dx
·
x + ψ
p
(p)
=0.
Очевидна альтернатива:
1)
dp
dx
=0, тогда p = C, и y = C · x + ψ(C) - однопара-
метрическое семейство интегральных кривых, или
2)
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x = −ψ
p
(p),
y = −pψ
p
(p)+ψ(p)
— решение, записанное в параметрическом виде. Исследуем свой-
ства этого решения.
Легко проверить, что интегральная кривая, определяемая
решением 2), является огибающей семейства интегральных кри-
вых 1). Действительно, огибающая некоторого однопараметри-
ческого семейства Φ(x, y, C)=0 определяется уравнениями
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Φ(x, y, C)=0,
Φ
C
(x, y, C)=0,
43
y = ϕ(p)x + ψ(p),    dy = xϕp(p)dp + ϕ(p)dx + ψp (p)dp = pdx,
                                                    dx
                                   
откуда (p − ϕ(p)) dx = xϕp(p) + ψp(p) dp или             ≡ xp =
                                                      dp
                  
  ϕp(p)           ψp(p)
         x(p) +          . (Случай, когда ϕ(p) = p рассмот-
p − ϕ(p)        p − ϕ(p)
рим ниже, когда будем рассматривать уравнение Клеро.) От-
сюда следует, что уравнение может быть представлено в виде
xp + a(p)x = b(p). Это линейное относительно x(p) уравнение
первого порядка, метод решения которого нам уже известен.
     (5) Уравнение Клеро. Частным случаем уравнения Лагран-
жа является уравнение y = y  · x + ψ(y ). (Здесь ϕ(y ) = y  ).
Как и в предыдущем случае, введём параметр y  = p,         dy =
pdx. Тогда y = p·x+ψ(p). Продифференцируем это выражение
                                         dp       
                                                       
и после простых преобразований получим      · x + ψp(p) = 0.
                                         dx
Очевидна альтернатива:
        dp
     1)    = 0, тогда p = C, и y = C · x + ψ(C) - однопара-
        dx
метрическое семейство интегральных кривых, или
         ⎧
         ⎪
         ⎪
         ⎨   x = −ψp (p),
    2)   ⎪
         ⎪
         ⎩   y = −pψp (p) + ψ(p)
— решение, записанное в параметрическом виде. Исследуем свой-
ства этого решения.
    Легко проверить, что интегральная кривая, определяемая
решением 2), является огибающей семейства интегральных кри-
вых 1). Действительно, огибающая некоторого однопараметри-
ческого семейства Φ(x, y, C) = 0 определяется уравнениями
                             ⎧
                             ⎪
                             ⎪
                             ⎨   Φ(x, y, C) = 0,
                             ⎪
                             ⎪
                             ⎩   ΦC (x, y, C) = 0,

                                        43

Страницы