Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

которые для семейства y = Cx + ψ(C) имеют вид
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
y = Cx + ψ(C),
x = −ψ
C
(C),
что лишь обозначением параметра отличается от 2).
Заметим, что иногда метод введения параметра применим и для урав-
нения вида y = f (x, y
).
Пример. y =2y
x +
x
2
2
+ y
2
,y
= p, y =2px +
x
2
2
+ p
2
.
dy = pdx =2pdx +2xdp + xdx +2pdp;(p + x)dx +2(x + p)dp =0.
(p + x)(dx +2dp)=0.
1) x + p =0,x= −p, y =2px +
x
2
2
+ p
2
= −
x
2
2
.
2) x +2p = C, x = C − 2p,
y =2p(C − 2p)+
(C − 2p)
2
2
+ p
2
=
1
2
(C
2
− 2p
2
).
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x = C − 2p,
y =
1
2
(C
2
− 2p
2
).
5.2. Теорема существования и единственности решения
Ранее нами была доказана теорема существования и един-
ственности решения y(x) уравнения y
= f(x, y), удовле-
творяющего условию y(x
0
)=y
0
. Ниже мы исследуем во-
прос о существовании и единственности решений уравнений ви-
да F (x, y, y
)=0. Очевидно, что для таких уравнений че-
рез некоторую точку (x
0
,y
0
) может проходить уже не одна,
а несколько интегральных кривых, так как разрешая уравне-
ние F (x, y, y
)=0 относительно производной y
, мы, как
44
которые для семейства y = Cx + ψ(C) имеют вид
                         ⎧
                         ⎪
                         ⎪
                         ⎨   y = Cx + ψ(C),
                         ⎪
                         ⎪
                         ⎩   x = −ψC (C),
что лишь обозначением параметра отличается от 2).
     Заметим, что иногда метод введения параметра применим и для урав-
нения вида y = f (x, y  ).
                       x2    2                 x2
     Пример. y = 2y x +    + y , y = p, y = 2px +    + p2 .
                        2                         2
   dy = pdx = 2pdx + 2xdp + xdx + 2pdp; (p + x)dx + 2(x + p)dp = 0.

                         (p + x)(dx + 2dp) = 0.
                                            x2   2  x2
           1) x + p = 0, x = −p, y = 2px +     +p =− .
                                            2       2
                      2) x + 2p = C, x = C − 2p,
                             (C − 2p)2       1
            y = 2p(C − 2p) +           + p2 = (C 2 − 2p2 ).
                                 2           2
                          ⎧
                          ⎪
                          ⎪   x = C − 2p,
                          ⎨
                          ⎪       1
                          ⎪
                          ⎩   y = (C 2 − 2p2 ).
                                  2


5.2. Теорема существования и единственности решения

     Ранее нами была доказана теорема существования и един-
ственности решения y(x) уравнения y  = f (x, y), удовле-
творяющего условию           y(x0) = y0.      Ниже мы исследуем во-
прос о существовании и единственности решений уравнений ви-
да F (x, y, y ) = 0. Очевидно, что для таких уравнений че-
рез некоторую точку (x0, y0) может проходить уже не одна,
а несколько интегральных кривых, так как разрешая уравне-
ние F (x, y, y ) = 0 относительно производной y , мы, как

                                    44

Страницы