Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

правило, получаем не одно, а несколько действительных зна-
чений y
= f
i
(x, y), (i =1, 2, ...). Если каждое из уравнений
y
= f
i
(x, y) в окрестности точки (x
0
,y
0
) удовлетворяет усло-
виям теоремы существования и единственности решения, то для
каждого из этих уравнений найдётся единственное решение, удо-
влетворяющее условию y(x
0
)=y
0
. Поэтому единственность
решения уравнения F (x, y, y
)=0, удовлетворяющего условию
y(x
0
)=y
0
, обычно понимается в том смысле, что через дан-
ную точку (x
0
,y
0
) по данному направлению проходит не более
одной интегральной кривой уравнения.
Теорема. Существует единственное решение y = y(x),
уравнения F (x, y, y
)=0,x
0
− h ≤ x ≤ x
0
+ h, где h достаточ-
но мало, удовлетворяющее условию y(x
0
)=y
0
, для которого
y
(x
0
)=y
0
,y
0
- один из корней уравнения F (x
0
,y
0
,y
)=0, если
в замкнутой окрестности точки (x
0
,y
0
,y
0
) функция F (x, y, y
)
удовлетворяет условиям:
1) функция F (x, y, y
) непрерывна по всем аргументам;
2) существует непрерывная по всем аргументам частная
производная
∂F
∂y
, причём
∂F(x
0
,y
0
,y
0
)
∂y
=0;
3) существует непрерывная по всем аргументам, ограни-
ченная по модулю производная
∂F
∂y
:
∂F
∂y
≤ N.
Доказательство. Согласно известной теореме о существо-
вании неявной функции, можно утверждать, что условия 1),
2) и 3) гарантируют существование единственной и непрерыв-
ной в окрестности точки (x
0
,y
0
) функции y
= f(x, y),
определяемой уравнением F (x, y, y
)=0 и удовлетворяющей
45
правило, получаем не одно, а несколько действительных зна-
чений y  = fi(x, y), (i = 1, 2, ...). Если каждое из уравнений
y  = fi(x, y) в окрестности точки (x0, y0) удовлетворяет усло-
виям теоремы существования и единственности решения, то для
каждого из этих уравнений найдётся единственное решение, удо-
влетворяющее условию y(x0) = y0. Поэтому единственность
решения уравнения F (x, y, y ) = 0, удовлетворяющего условию
y(x0) = y0, обычно понимается в том смысле, что через дан-
ную точку (x0, y0) по данному направлению проходит не более
одной интегральной кривой уравнения.
     Теорема.      Существует единственное решение y = y(x),
уравнения F (x, y, y ) = 0, x0 − h ≤ x ≤ x0 + h, где h достаточ-
но мало, удовлетворяющее условию y(x0) = y0, для которого
y (x0) = y0 , y0 - один из корней уравнения F (x0, y0, y ) = 0, если
в замкнутой окрестности точки (x0, y0, y0 ) функция F (x, y, y )
удовлетворяет условиям:
     1) функция F (x, y, y ) непрерывна по всем аргументам;
    2) существует непрерывная по всем аргументам частная
            ∂F             ∂F (x0, y0, y0 )
производная       , причём                    = 0;
             ∂y                ∂y 
    3) существует непрерывная по всем      
                                                аргументам,
                                                 
                                                            ограни-
                                ∂F              
                                            ∂F 
ченная по модулю производная         :   ≤ N.
                                ∂y           ∂y
    Доказательство. Согласно известной теореме о существо-
вании неявной функции, можно утверждать, что условия 1),
2) и 3) гарантируют существование единственной и непрерыв-
ной в окрестности точки         (x0, y0)   функции     y  = f (x, y),
определяемой уравнением F (x, y, y ) = 0 и удовлетворяющей

                                   45

Страницы