Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ЛЕКЦИЯ 6
6.1. Теорема существования и единственности решения
для дифференциальных уравнений высших порядков
Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка
F (x, y, y
,y

, ..., y
(n)
)=0. (6.1)
Функция F считается непрерывной функцией своих аргумен-
тов. Если она удовлетворяет теореме существования неявной
функции, то уравнение (6.1) можно представить в виде
y
(n)
= f(x, y, y
,y

, ...y
(n−1)
), (6.2)
который является общим видом уравнения n-го порядка, раз-
решённого относительно старшей производной. Будем пока изу-
чать уравнения только такого вида.
Уравнение (6.2) нетрудно свести к системе уравнений пер-
вого порядка. Действительно, если в уравнении (6.2) неизвест-
ными функциями считать не только y, но и все производные до
(n−1)-го порядка, то есть y
= y
1
,y

= y
2
, ... , y
(n−1)
= y
n−1
, то
уравнение (6.2) примет вид системы дифференциальных урав-
нений
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
y
= y
1
,
y
1
= y
2
,
y
2
= y
3
,
...........................................
y
n−2
= y
n−1
,
y
n−1
= f(x, y, y
1
,y
2
, ... , y
n−1
).
(6.3)
47
                                 ЛЕКЦИЯ 6


6.1. Теорема существования и единственности решения
 для дифференциальных уравнений высших порядков

     Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка

                        F (x, y, y , y , ..., y (n)) = 0.      (6.1)

Функция F считается непрерывной функцией своих аргумен-
тов. Если она удовлетворяет теореме существования неявной
функции, то уравнение (6.1) можно представить в виде

                      y (n) = f (x, y, y , y , ...y (n−1)),    (6.2)

который является общим видом уравнения n-го порядка, раз-
решённого относительно старшей производной. Будем пока изу-
чать уравнения только такого вида.
     Уравнение (6.2) нетрудно свести к системе уравнений пер-
вого порядка. Действительно, если в уравнении (6.2) неизвест-
ными функциями считать не только y, но и все производные до
(n−1)-го порядка, то есть y  = y1, y  = y2, ... , y (n−1) = yn−1, то
уравнение (6.2) примет вид системы дифференциальных урав-
нений           ⎧
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                    y  = y1 ,
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                    y1 = y2,
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎨   y2 = y3,
                ⎪
                ⎪
                                                                  (6.3)
                ⎪
                ⎪   ...........................................
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪    
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                    yn−2 = yn−1,
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪
                ⎪    
                ⎩   yn−1 = f (x, y, y1, y2, ... , yn−1).
                                          47

Страницы