Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Тем самым мы получили систему, записанную в нормальной
форме. Для таких систем мы уже доказывали теорему существо-
вания и единственности решения: если правые части всех урав-
нений системы (6.3) непрерывны в рассматриваемой области и
удовлетворяют условию Липшица по всем аргументам, кроме x
(см. п. 4.1. лекции 4), то существует единственное решение си-
стемы (6.3), удовлетворяющее условиям y(x
0
)=y
0
,y
1
(x
0
)=
y
1,0
, ... , y
n−1
(x
0
)=y
n−1,0
. Правые части первых n −1 уравне-
ний системы (6.3) непрерывны и удовлетворяют условию Лип-
шица. Следовательно, условия теоремы существования и един-
ственности решения будут выполнены, если функция
f(x, y, y
1
,y
2
, ... , y
n−1
) будет непрерывна в окрестности на-
чальных данных и будет удовлетворять условию Липшица по
всем аргументам, начиная со второго.
Итак, переходя вновь к переменным x и y, получим
следующую теорему существования и единственности решения:
Теорема. Существует единственное решение дифферен-
циального уравнения n-го порядка
y
(n)
= f (x, y, y
,y

, ...y
(n−1)
),
удовлетворяющее начальным условиям y(x
0
)=y
0
,y
(x
0
)=
y
0
, ..., y
(n−1)
(x
0
)=y
(n−1)
0
, если в окрестности начальных зна-
чений (x
0
,y
0
,y
0
, ..., y
(n−1)
0
) функция f(x, y, y
,y

, ...y
(n−1)
)
является непрерывной функцией своих аргументов и удовле-
творяет условию Липшица по всем аргументам, начиная со
второго.
Замечание. Последнее условие может быть заменено бо-
48
Тем самым мы получили систему, записанную в нормальной
форме. Для таких систем мы уже доказывали теорему существо-
вания и единственности решения: если правые части всех урав-
нений системы (6.3) непрерывны в рассматриваемой области и
удовлетворяют условию Липшица по всем аргументам, кроме x
(см. п. 4.1. лекции 4), то существует единственное решение си-
стемы (6.3), удовлетворяющее условиям y(x0) = y0, y1(x0) =
y1,0, ... , yn−1(x0) = yn−1,0. Правые части первых n − 1 уравне-
ний системы (6.3) непрерывны и удовлетворяют условию Лип-
шица. Следовательно, условия теоремы существования и един-
ственности       решения будут выполнены, если функция
f (x, y, y1, y2, ... , yn−1) будет непрерывна в окрестности на-
чальных данных и будет удовлетворять условию Липшица по
всем аргументам, начиная со второго.
     Итак, переходя вновь к переменным x и y, получим
следующую теорему существования и единственности решения:
     Теорема. Существует единственное решение дифферен-
циального уравнения n-го порядка

                      y (n) = f (x, y, y , y , ...y (n−1)),

удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = y0, y (x0) =
y0 , ..., y (n−1)(x0) = y0
                          (n−1)
                                  , если в окрестности начальных зна-
чений (x0, y0, y0 , ..., y0            ) функция f (x, y, y , y , ...y (n−1))
                                (n−1)

является непрерывной функцией своих аргументов и удовле-
творяет условию Липшица по всем аргументам, начиная со
второго.
     Замечание. Последнее условие может быть заменено бо-
                                          48

Страницы