Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

приведено к виду
y
(n)
+ p
1
(x)y
(n−1)
+ p
2
(x)y
(n−2)
+ ... + p
n−1
(x)y
+ p
n
(x)y = f(x).
(6.5)
Далее, если не оговорено противное, все p
i
(x) будем считать
непрерывными функциями.
Обозначим
L[ y ]
def
=
y
(n)
+ p
1
(x)y
(n−1)
+ p
2
(x)y
(n−2)
+ ... + p
n−1
(x)y
+ p
n
(x)y.
Будем называть L[ y ] линейным дифференциальным операто-
ром. Он обладает следующими легко проверяемыми свойствами:
1) L[ Cy]=CL[ y ],
2) L[ y
1
+ y
2
]=L[ y
1
]+L[ y
2
],
3) L
n
i=1
C
i
y
i
=
n
i=1
C
i
L[ y
i
].
Рассмотрим линейные однородные уравнения L[ y ]=0
или
y
(n)
+p
1
(x)y
(n−1)
+p
2
(x)y
(n−2)
+... +p
n−1
(x)y
+p
n
(x)y =0. (6.6)
Докажем ряд теорем о свойствах решений таких уравнений.
Теорема 1. Если y = y(x) является решением линейного
однородного уравнения L[ y ]=0, то и C · y(x), где C —
const, является решением того же уравнения.
Доказательство. Поскольку L[ y ]=0, то и L[ C · y ]=
C · L[ y ]=0.
Теорема 2. Если функции y
1
= y
1
(x),y
2
= y
2
(x) являют-
ся решениями линейного однородного уравнения, то функция
50
приведено к виду

y (n) + p1(x)y (n−1) + p2(x)y (n−2) + ... + pn−1(x)y  + pn(x)y = f (x).
                                                                     (6.5)
Далее, если не оговорено противное, все pi(x) будем считать
непрерывными функциями.
      Обозначим
      def
L[ y ] = y (n) + p1(x)y (n−1) + p2(x)y (n−2) + ... + pn−1(x)y  + pn(x)y.

Будем называть L[ y ] линейным дифференциальным операто-
ром. Он обладает следующими легко проверяемыми свойствами:
      1) L[ C y ] = C L[ y ],
      2) L[ y1 + y2 ] = L[ y1 ] + L[ y2 ],
                          
                 n
                                n
                                 
      3) L             Ci yi =         Ci L[ yi ].
                 i=1             i=1
      Рассмотрим линейные однородные уравнения L[ y ] = 0
или
 y (n) + p1(x)y (n−1) + p2(x)y (n−2) + ... + pn−1(x)y  + pn(x)y = 0. (6.6)

      Докажем ряд теорем о свойствах решений таких уравнений.
      Теорема 1. Если y = y(x) является решением линейного
однородного уравнения L[ y ] = 0, то и C · y(x), где C —
const, является решением того же уравнения.
      Доказательство. Поскольку L[ y ] = 0, то и L[ C · y ] =
C · L[ y ] = 0.
      Теорема 2. Если функции y1 = y1(x), y2 = y2(x) являют-
ся решениями линейного однородного уравнения, то функция

                                            50

Страницы