Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 1. Если функции y
1
(x),y
2
(x), ... , y
n
(x) линейно
зависимы на [a, b], то на том же отрезке [a, b] определитель
Вронского этих функций тождественно равен нулю:
W (x) ≡ W [ y
1
,y
2
, ..., y
n
] ≡
y
1
y
2
... y
n
y
1
y
2
... y
n
y

1
y

2
... y

n
..............................
y
(n−1)
1
y
(n−1)
2
... y
(n−1)
n
≡ 0.
Доказательство. Нам дано, что функции y
1
,y
2
, ... , y
n
линейно зависимы на отрезке a ≤ x ≤ b, т.е. α
1
y
1
(x)+α
2
y
2
(x)+
...+α
n
y
n
(x) ≡ 0, причём не все α
i
=0. Продифференцируем это
равенство 1 раз, 2 раза, ..., (n −1) раз, а затем составим систему
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
α
1
y
1
(x)+α
2
y
2
(x)+... + α
n
y
n
(x)=0,
α
1
y
1
(x)+α
2
y
2
(x)+... + α
n
y
n
(x)=0,
α
1
y

1
(x)+α
2
y

2
(x)+... + α
n
y

n
(x)=0,
..........................................................................
α
1
y
(n−1)
1
(x)+α
2
y
(n−1)
2
(x)+... + α
n
y
(n−1)
n
(x)= 0.
(7.2)
Рассмотрим эту систему как систему алгебраических уравнений
для определения α
i
. Мы знаем, что не все α
i
равны нулю,
то есть система заведомо имеет нетривиальные решения. Но
однородная система линейных алгебраических уравнений мо-
жет иметь нетривиальные решения тогда и только тогда, когда
определитель этой системы тождественно равен нулю. Легко ви-
деть, что определитель этой системы совпадает с определителем
Вронского. Следовательно, для того чтобы не все α
i
были рав-
ны нулю, необходимо, чтобы W (x) ≡ 0.
52
     Теорема 1. Если функции y1(x), y2(x), ... , yn(x) линейно
зависимы на [a, b], то на том же отрезке [a, b] определитель
Вронского этих функций тождественно равен нулю:
                                                                               
                                                                               
                                                                               
                                         
                                         
                                             y1         y2     ...        yn 
                                                                               
                                                                               
                                         
                                            y1        y2    ...        y
                                                                           n 
                                                                                
                                         
                                         
W (x) ≡ W [ y1, y2, ..., yn] ≡ y1                                          
                                         
                                         
                                         
                                                        y2   ...        y n     ≡ 0.
                                                                               
                                                                               
                                         
                                            ..............................     
                                                                                
                                                                               
                                             (n−1) (n−1)                (n−1) 
                                            y1    y2     ...        y
                                                                        n      

     Доказательство. Нам дано, что функции y1, y2, ... , yn
линейно зависимы на отрезке a ≤ x ≤ b, т.е. α1y1(x)+α2y2(x)+
...+αnyn(x) ≡ 0, причём не все αi = 0. Продифференцируем это
равенство 1 раз, 2 раза, ..., (n − 1) раз, а затем составим систему
     ⎧
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪   α1 y1(x) + α2 y2(x) + ... + αn yn(x) = 0,
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪
         α1 y1 (x) + α2 y2 (x) + ... + αn yn (x) = 0,
     ⎪
     ⎨
     ⎪
     ⎪
         α1 y1(x) + α2 y2(x) + ... + αn yn(x) = 0,                                   (7.2)
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪   ..........................................................................
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪
     ⎪        (n−1)                (n−1)
     ⎪
     ⎪
     ⎩   α1y1         (x) + α2y2             (x) + ... + αnyn(n−1)(x) = 0.
Рассмотрим эту систему как систему алгебраических уравнений
для определения αi . Мы знаем, что не все αi равны нулю,
то есть система заведомо имеет нетривиальные решения. Но
однородная система линейных алгебраических уравнений мо-
жет иметь нетривиальные решения тогда и только тогда, когда
определитель этой системы тождественно равен нулю. Легко ви-
деть, что определитель этой системы совпадает с определителем
Вронского. Следовательно, для того чтобы не все αi были рав-
ны нулю, необходимо, чтобы W (x) ≡ 0.

                                                   52

Страницы