Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

нет. Поэтому α
1
y
1
(x)+α
2
y
2
(x)+... + α
n
y
n
(x) ≡ 0 и
функции y
1
(x),y
2
(x), ... , y
n
(x) линейно зависимы.
Таким образом, предположение, что определитель Вронско-
го хотя бы в одной точке отрезка [a, b] может обратиться в нуль,
приводит к противоречию с условиями теоремы.
Докажем теперь основную теорему данной лекции.
Теорема 3. Общим решением линейного однородного урав-
нения L[ y ]=0 на отрезке [a, b] является линейная комби-
нация y(x)=
n
i=1
C
i
y
i
(x) из n линейно независимых на этом
отрезке частных решений y
i
(x), (i =1, 2, ..., n) с произволь-
ными постоянными коэффициентами.
Доказательство. Уравнение L[ y ]=0 при x ∈ [a, b]
удовлетворяет условиям теоремы существования и единствен-
ности решения. Поэтому решение y(x)=
n
i=1
C
i
y
i
(x) будет
общим решением, то есть будет содержать в себе все без исклю-
чения частные решения, если окажется возможным подобрать
таким образом произвольные постоянные C
i
, чтобы удовлетво-
рить произвольно заданным начальным условиям y(x
0
)=y
0
,
y
(x
0
)=y
0
,y

(x
0
)=y

0
, ..., y
(n−1)
(x
0
)=y
(n−1)
0
,x
0
∈ [a, b] .
Потребовав, чтобы решение y(x)=
n
i=1
C
i
y
i
(x) удовлетворяло
поставленным начальным условиям, получим систему n линей-
ных относительно C
i
(i =1, 2, ..., n) алгебраических уравнений
с n неизвестными:
54
нет. Поэтому α1 y1(x) + α2 y2(x) + ... + αn yn(x) ≡ 0 и
функции y1(x), y2(x), ... , yn(x) линейно зависимы.
     Таким образом, предположение, что определитель Вронско-
го хотя бы в одной точке отрезка [a, b] может обратиться в нуль,
приводит к противоречию с условиями теоремы.
     Докажем теперь основную теорему данной лекции.
     Теорема 3. Общим решением линейного однородного урав-
нения L[ y ] = 0 на отрезке [a, b] является линейная комби-
                 n
                 
нация y(x) =           Ci yi(x) из n линейно независимых на этом
                 i=1
отрезке частных решений yi(x), (i = 1, 2, ..., n) с произволь-
ными постоянными коэффициентами.
     Доказательство. Уравнение L[ y ] = 0 при x ∈ [a, b]
удовлетворяет условиям теоремы существования и единствен-
                                                         n
                                                         
ности решения. Поэтому решение              y(x) =           Ci yi(x)   будет
                                                       i=1
общим решением, то есть будет содержать в себе все без исклю-
чения частные решения, если окажется возможным подобрать
таким образом произвольные постоянные Ci, чтобы удовлетво-
рить произвольно заданным начальным условиям y(x0) = y0,
y (x0) = y0 , y (x0) = y0, ..., y (n−1)(x0) = y0
                                                      (n−1)
                                                              ,   x0 ∈ [a, b] .
                                            n
                                            
Потребовав, чтобы решение y(x) =                  Ci yi(x) удовлетворяло
                                            i=1
поставленным начальным условиям, получим систему n линей-
ных относительно Ci (i = 1, 2, ..., n) алгебраических уравнений
с n неизвестными:




                                    54

Страницы