Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 2. Если линейно независимые на [a, b] функции
y
1
(x),y
2
(x), ... , y
n
(x) являются решениями линейного одно-
родного уравнения с непрерывными на [a, b] коэффициентами
p
i
(x), то определитель Вронского этих функций не может
обратиться в нуль ни в одной точке отрезка [a, b].
Доказательство. Доказательство будем вести от против-
ного. Предположим, что в некоторой точке x
0
отрезка [a, b]
определитель Вронского равен нулю: W (x
0
)=0. Подсчита-
ем систему (7.2) в этой точке x
0
и вновь рассмотрим её как
систему алгебраических уравнений для определения α
i
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
α
1
y
1
(x
0
)+α
2
y
2
(x
0
)+... + α
n
y
n
(x
0
)=0,
α
1
y
1
(x
0
)+α
2
y
2
(x
0
)+... + α
n
y
n
(x
0
)=0,
α
1
y

1
(x
0
)+α
2
y

2
(x
0
)+... + α
n
y

n
(x
0
)=0,
..........................................................................
α
1
y
(n−1)
1
(x
0
)+α
2
y
(n−1)
2
(x
0
)+... + α
n
y
(n−1)
n
(x
0
)= 0.
(7.3)
Поскольку W (x
0
)=0, существуют нетривиальные решения
этой системы относительно α
i
. Составим с α
i
линейную ком-
бинацию y(x)=α
1
y
1
(x)+α
2
y
2
(x)+... + α
n
y
n
(x).
Поскольку все y
i
(x), входящие в эту линейную комбинацию,
являются решениями уравнения (7.1) L[ y ]=0,тои y(x)
тоже является решением этого уравнения. Более того, если по-
ложить y(x)=0, то получим тривиальное решение, удовле-
творяющее в силу системы (7.3) нулевым начальным условиям
y(x
0
)=0,y
(x
0
)=0,y

(x
0
)=0, ..., y
(n−1)
(x
0
)=0. Вследствие
теоремы существования и единственности решения, это един-
ственное решение уравнения (7.1) L[ y ]=0 и никаких других
решений y(x) этого уравнения с найденными нами ранее α
i
53
       Теорема 2. Если линейно независимые на [a, b] функции
y1(x), y2(x), ... , yn(x) являются решениями линейного одно-
родного уравнения с непрерывными на [a, b] коэффициентами
pi(x), то определитель Вронского этих функций не может
обратиться в нуль ни в одной точке отрезка [a, b].
       Доказательство. Доказательство будем вести от против-
ного. Предположим, что в некоторой точке x0 отрезка [a, b]
определитель Вронского равен нулю: W (x0) = 0. Подсчита-
ем систему (7.2) в этой точке x0 и вновь рассмотрим её как
систему алгебраических уравнений для определения αi
   ⎧
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪   α1 y1(x0) + α2 y2(x0) + ... + αn yn(x0) = 0,
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
       α1 y1 (x0) + α2 y2 (x0) + ... + αn yn (x0) = 0,
   ⎪
   ⎨
   ⎪
   ⎪
       α1 y1(x0) + α2 y2(x0) + ... + αn yn(x0) = 0,                           (7.3)
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪   ..........................................................................
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪        (n−1)                  (n−1)
   ⎪
   ⎪
   ⎩   α1y1         (x0) + α2y2            (x0) + ... + αnyn(n−1)(x0) = 0.
Поскольку W (x0) = 0, существуют нетривиальные решения
этой системы относительно αi . Составим с αi линейную ком-
бинацию y(x) = α1 y1(x) + α2 y2(x) + ... + αn yn(x).
Поскольку все yi(x), входящие в эту линейную комбинацию,
являются решениями уравнения (7.1) L[ y ] = 0 , то и y(x)
тоже является решением этого уравнения. Более того, если по-
ложить y(x) = 0, то получим тривиальное решение, удовле-
творяющее в силу системы (7.3) нулевым начальным условиям
y(x0) = 0, y (x0) = 0, y (x0) = 0, ..., y (n−1)(x0) = 0. Вследствие
теоремы существования и единственности решения, это един-
ственное решение уравнения (7.1) L[ y ] = 0 и никаких других
решений y(x) этого уравнения с найденными нами ранее αi
                                                53

Страницы