Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y(x)=C
1
· y
1
(x)+C
2
· y
2
(x) также является решением того
же уравнения, где C
1
= const, C
2
= const.
Доказательство. L[ y ]=L[ C
1
·y
1
+C
2
·y
2
]=C
1
·L[ y
1
]+
C
2
· L[ y
2
]=0.
Следствие. Пусть имеется n решений y
1
,y
2
, ... , y
n
линейного однородного уравнения L[ y ]=0. Тогдаихли-
нейная комбинация с постоянными коэффициентами y(x)=
C
1
y
1
(x)+C
2
y
2
(x)+... + C
n
y
n
(x) также является решением
того же уравнения.
ЛЕКЦИЯ 7
7.1. Общее решение линейного дифференциального
уравнения n-го порядка
Рассмотрим линейное однородное уравнение
L[ y ]=y
(n)
+p
1
(x)y
(n−1)
+p
2
(x)y
(n−2)
+...+p
n−1
(x)y
+p
n
(x)y =0.
(7.1)
Как найти его общее решение?
Вспомним следующее определение: функции y
1
(x),y
2
(x),
... , y
n
(x) называются линейно зависимыми на некотором интер-
вале изменения x : a ≤ x ≤ b, если существуют постоянные
величины α
1
,α
2
, ..., α
n
такие, что на [a, b] α
1
y
1
(x)+α
2
y
2
(x)+
... + α
n
y
n
(x) ≡ 0, и хотя бы одно α
i
=0. Если тождество
справедливо только при α
1
= α
2
= ... = α
n
=0, то функции
y
1
(x),y
2
(x), ..., y
n
(x) называются линейно независимыми на
отрезке [a, b].
51
y(x) = C1 · y1(x) + C2 · y2(x) также является решением того
же уравнения, где C1 = const, C2 = const.
     Доказательство. L[ y ] = L[ C1 ·y1 +C2 ·y2 ] = C1 ·L[ y1 ]+
C2 · L[ y2 ] = 0.
     Следствие. Пусть имеется n решений y1, y2, ... , yn
линейного однородного уравнения L[ y ] = 0. Тогда их ли-
нейная комбинация с постоянными коэффициентами y(x) =
C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) также является решением
того же уравнения.

                           ЛЕКЦИЯ 7

  7.1. Общее решение линейного дифференциального
                    уравнения n-го порядка

     Рассмотрим линейное однородное уравнение

L[ y ] = y (n) +p1(x)y (n−1) +p2(x)y (n−2) +...+pn−1(x)y  +pn(x)y = 0.
                                                                  (7.1)
Как найти его общее решение?
     Вспомним следующее определение: функции y1(x), y2(x),
... , yn(x) называются линейно зависимыми на некотором интер-
вале изменения x : a ≤ x ≤ b, если существуют постоянные
величины α1, α2, ..., αn такие, что на [a, b] α1y1(x) + α2y2(x) +
... + αnyn(x) ≡ 0, и хотя бы одно αi = 0. Если тождество
справедливо только при α1 = α2 = ... = αn = 0, то функции
y1(x), y2(x), ..., yn(x) называются линейно независимыми на
отрезке [a, b].
                                  51

Страницы