Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

лее жестким условием существования в той же окрестности огра-
ниченных частных производных первого порядка от функции
f(x, y, y
,y

, ..., y
(n−1)
) по всем аргументам, начиная со вто-
рого.
Определение. Общим решением дифференциального урав-
нения n-го порядка называется множество решений, состоящее
из всех без исключения частных решений.
Иначе говоря, общее решение содержит в себе все без ис-
ключения частные решения. Забегая вперёд, заметим, что общее
решение зависит от n параметров, в качестве которых могут
быть выбраны, например, начальные значения искомой функ-
ции и производных y
0
,y
0
, ... , y
(n−1)
0
.
6.2. Линейные дифференциальные уравнения n-го
порядка
Определение. Линейным дифференциальным уравнением
n-го порядка называется дифференциальное уравнение, линей-
ное относительно неизвестной функции и всех её производных,
то есть имеющее вид
a
0
(x)y
(n)
+a
1
(x)y
(n−1)
+a
2
(x)y
(n−2)
+...+a
n−1
(x)y
+a
n
(x)y = b(x),
(6.4)
где a
0
(x) =0. Если b(x)=0, то уравнение называется
однородным, а если b(x) =0, то уравнение называется неодно-
родным.
Поскольку a
0
(x) =0, уравнение (6.4) всегда может быть
49
лее жестким условием существования в той же окрестности огра-
ниченных частных производных первого порядка от функции
f (x, y, y , y , ..., y (n−1)) по всем аргументам, начиная со вто-
рого.
      Определение. Общим решением дифференциального урав-
нения n-го порядка называется множество решений, состоящее
из всех без исключения частных решений.
      Иначе говоря, общее решение содержит в себе все без ис-
ключения частные решения. Забегая вперёд, заметим, что общее
решение зависит от n параметров, в качестве которых могут
быть выбраны, например, начальные значения искомой функ-
ции и производных y0, y0 , ... , y0
                                   (n−1)
                                           .

  6.2. Линейные дифференциальные уравнения n-го
                              порядка

      Определение. Линейным дифференциальным уравнением
n-го порядка называется дифференциальное уравнение, линей-
ное относительно неизвестной функции и всех её производных,
то есть имеющее вид

a0(x)y (n) +a1(x)y (n−1) +a2(x)y (n−2) +...+an−1(x)y  +an(x)y = b(x),
                                                                  (6.4)
где     a0(x) = 0.   Если   b(x) = 0,         то уравнение называется
однородным, а если b(x) = 0, то уравнение называется неодно-
родным.
      Поскольку a0(x) = 0, уравнение (6.4) всегда может быть


                                  49

Страницы