Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
n
i=1
C
i
y
i
(x
0
)=y
0
,
n
i=1
C
i
y
i
(x
0
)=y
0
,
n
i=1
C
i
y

i
(x
0
)=y

0
,
..............................
n
i=1
C
i
y
(n−1)
i
(x
0
)= y
(n−1)
0
.
Поскольку y
1
(x),y
2
(x), ... , y
n
(x) — линейно независимые
решения уравнения L[ y ]=0, определитель Вронского W (x
0
)
этой системы отличен от нуля в любой точке x
0
∈ [a, b]. Следо-
вательно, эта система разрешима относительно C
i
(i =1, 2, ..., n)
при любом выборе x
0
∈ [a, b] и при любом выборе правых ча-
стей этой системы.
Таким образом, какие бы начальные условия y(x
0
)=y
0
,
y
(x
0
)=y
0
,y

(x
0
)=y

0
, ..., y
(n−1)
(x
0
)=y
(n−1)
0
,x
0
∈ [a, b] мы
ни задали (иначе говоря, какое бы частное решение мы ни вы-
брали), заданное частное решение подбором постоянных C
i
(i =
1, 2, ..., n) можно выделить из решения y(x)=
n
i=1
C
i
y
i
(x), а
это и означает, что данная линейная комбинация является об-
щим решением.
Следствие. Максимальное число линейно независимых част-
ных решений линейного однородного уравнения n-го порядка
равно n.
Определение. Любые n линейно независимых частных
решений линейного однородного дифференциального уравнения
n-го порядка называется его фундаментальной системой реше-
ний.
55
                      ⎧   n
                      ⎪
                      ⎪   
                      ⎪
                      ⎪         Ci yi(x0)          = y0 ,
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪   i=1
                      ⎪
                      ⎪    n
                           
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                                Ci yi (x0)        = y0 ,
                      ⎪
                      ⎪   i=1
                      ⎪
                      ⎨    n
                           
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                                Ci yi(x0)        = y0,
                      ⎪
                      ⎪ i=1
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪   ..............................
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪  n
                         
                      ⎪
                      ⎪              (n−1)                   (n−1)
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎩         Ci yi        (x0) = y0               .
                          i=1
       Поскольку y1(x), y2(x), ... , yn(x) — линейно независимые
решения уравнения L[ y ] = 0, определитель Вронского W (x0)
этой системы отличен от нуля в любой точке x0 ∈ [a, b]. Следо-
вательно, эта система разрешима относительно Ci (i = 1, 2, ..., n)
при любом выборе x0 ∈ [a, b] и при любом выборе правых ча-
стей этой системы.
       Таким образом, какие бы начальные условия y(x0) = y0,
y (x0) = y0 , y (x0) = y0, ..., y (n−1)(x0) = y0
                                                                (n−1)
                                                                         , x0 ∈ [a, b] мы
ни задали (иначе говоря, какое бы частное решение мы ни вы-
брали), заданное частное решение подбором постоянных Ci (i =
                                                                           n
                                                                           
1, 2, ..., n) можно выделить из решения y(x) =                                   Ci yi(x), а
                                                                           i=1
это и означает, что данная линейная комбинация является об-
щим решением.
       Следствие. Максимальное число линейно независимых част-
ных решений линейного однородного уравнения n-го порядка
равно n.
       Определение. Любые n линейно независимых частных
решений линейного однородного дифференциального уравнения
n-го порядка называется его фундаментальной системой реше-
ний.
                                              55

Страницы