Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

его по элементам последнего столбца:
y
(n)
Y
1
Y
2
............. Y
n
Y
1
Y
2
............. Y
n
Y

1
Y

2
............ Y

n
.........................................
Y
(n−2)
1
Y
(n−2)
2
.......... Y
(n−2)
n
Y
(n−1)
1
Y
(n−1)
2
.......... Y
(n−1)
n
−
− y
(n−1)
Y
1
Y
2
............. Y
n
Y
1
Y
2
............. Y
n
Y

1
Y

2
............ Y

n
........................................
Y
(n−2)
1
Y
(n−2)
2
............ Y
(n−2)
n
Y
(n)
1
Y
(n)
2
............. Y
(n)
n
+
+ ... +(−1)
n
y
Y
1
Y
2
............. Y
n
Y

1
Y

2
............ Y

n
........................................
Y
(n−2)
1
Y
(n−2)
2
.......... Y
(n−2)
n
Y
(n−1)
1
Y
(n−1)
2
.......... Y
(n−1)
n
Y
(n)
1
Y
(n)
2
........... Y
(n)
n
=0.
Определитель, стоящий при y
(n)
— есть определитель Вронско-
го W (x) =0. Он отличен от нуля, поскольку функции Y
1
(x),
Y
2
(x), ..., Y
n
(x) линейно независимы. Определитель, стоящий
при y
(n−1)
— это производная определителя Вронского: W
(x).
Структура остальных определителей нас в данный момент не
интересует. Важно лишь то, что эти определители — некоторые
функции от x. Поделив на W (x), получим искомое уравнение
57
его по элементам последнего столбца:
                                                                                       
                                                                                       
                                                                                       
                              
                              
                                  Y1           Y2          .............         Y n 
                                                                                       
                              
                              
                                 Y1          Y2          .............         Y   
                                                                                    n 
                                                                                       
                                                                                    
                              
                         (n)    Y1            Y2      ............         Y n 
                     y        
                              
                                                                                        
                                                                                        
                                                                                              −
                              
                              
                                  .........................................             
                                                                                        
                                                                                       
                                   (n−2)            (n−2)                       (n−2) 
                                 Y1              Y2            .......... Y
                                                                               n       
                                                                                       
                              
                                   (n−1)            (n−1)                       (n−1) 
                                 Y1              Y2            .......... Y    n       

                                                                                             
                                                                                             
                                                                                             
                            
                            
                                    Y1              Y2          .............         Y n     
                                                                                              
                                                                                             
                            
                            
                                   Y1             Y2         .............         Y  n
                                                                                             
                                                                                              
                                                                                              
                                                                                             
                                                                                             
                            
                     (n−1)        Y1            Y2         ............         Y n
                                                                                            
                                                                                              
              −y            
                            
                                                                                              
                                                                                              
                                                                                              
                                                                                                  +
                            
                            
                                    ........................................                  
                                                                                              
                                                                                             
                                        (n−2)            (n−2)                        (n−2) 
                                   Y1              Y2            ............ Y
                                                                                     n       
                                                                                             
                            
                                        (n)              (n)                           (n) 
                                   Y1               Y2           ............. Y     n       
                                                                                                 
                                                                                                 
                                         
                                         
                                         
                                             Y1          Y2         .............        Yn    
                                                                                                  
                                                                                                  
                                                                                                 
                                         
                                         
                                            Y1         Y2        ............         Yn   
                                                                                                  
                                                                                                  
                                                                                                 
                                                                                                 
                                            ........................................             
                                                                                                 
        + ... + (−1)n y                  
                                         
                                              (n−2)            (n−2)
                                                                                                  
                                                                                                  
                                                                                           (n−2) 
                                                                                                      = 0.
                                         
                                         
                                             Y1           Y2            .......... Y      n       
                                                                                                 
                                              (n−1)            (n−1)                      (n−1) 
                                            Y1           Y2            .......... Y
                                                                                         n       
                                                                                                 
                                         
                                              (n)              (n)                         (n) 
                                            Y1            Y2          ........... Y      n       

Определитель, стоящий при y (n) — есть определитель Вронско-
го W (x) = 0. Он отличен от нуля, поскольку функции Y1(x),
Y2(x), ..., Yn (x)        линейно независимы. Определитель, стоящий
при y (n−1) — это производная определителя Вронского: W (x).
Структура остальных определителей нас в данный момент не
интересует. Важно лишь то, что эти определители — некоторые
функции от x. Поделив на W (x), получим искомое уравнение
                                                            57

Страницы