Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
(n)
−
W
(x)
W (x)
y
(n−1)
+ p
2
(x)y
(n−2)
+ ... + p
n
(x)y =0, (7.4)
где
p
1
(x)=−
W
(x)
W (x)
, (7.5)
а p
2
(x), ..., p
n
(x) — также отношения соответствующих опреде-
лителей. Формулы (7.4) и (7.5) и отвечают на вопрос, каким
образом связаны между собой коэффициенты p
i
(x), (i =
1, 2, ..., n) уравнения (7.1) с решениями Y
1
(x),Y
2
(x), ... , Y
n
(x)
этого уравнения.
Из формулы (7.5) легко получить формулу Остроград-
ского — Лиувилля :
W (x)=Ce
−
p
1
(x)dx
, (7.6)
где C — const.
В силу ( 7.6 ) общее решение дифференциального уравне-
ния второго порядка
y

+ p
1
(x)y
+ p
2
(x)y =0, (7.7)
которое имеет одно частное решение Y
1
(x), всегда находится
в квадратурах, так как любое решение уравнения (7.7) также
должно быть решением уравнения
Y
1
(x) y(x)
Y
1
(x) y
(x)
= Ce
−
p
1
(x)dx
,
что приводит к линейному уравнению первого порядка
Y
1
(x) · y
(x) − Y
1
(x) · y(x)=Ce
−
p
1
(x)dx
. (7.8)
58
            W (x) (n−1)
y   (n)
          −       y      + p2(x)y (n−2) + ... + pn(x)y = 0,             (7.4)
            W (x)
где
                                    W (x)
                          p1(x) = −        ,              (7.5)
                                    W (x)
а p2(x), ..., pn (x) — также отношения соответствующих опреде-
лителей. Формулы (7.4) и (7.5) и отвечают на вопрос, каким
образом связаны между собой коэффициенты                       pi(x),   (i =
1, 2, ..., n) уравнения (7.1) с решениями Y1(x), Y2(x), ... , Yn(x)
этого уравнения.
          Из формулы (7.5) легко получить формулу Остроград-
ского — Лиувилля :
                                                   
                                        − p1(x)dx
                             W (x) = C e          ,                     (7.6)

где C — const.
          В силу ( 7.6 ) общее решение дифференциального уравне-
ния второго порядка

                             y  + p1(x)y  + p2(x)y = 0,              (7.7)

которое имеет одно частное решение Y1(x), всегда находится
в квадратурах, так как любое решение уравнения (7.7) также
должно быть решением уравнения
                                                     
                                         
                                         
                      
                      
                          Y1(x) y(x)      
                                                − p1(x)dx
                                            =Ce          ,
                      
                         Y1(x) y (x)   
                                          


что приводит к линейному уравнению первого порядка
                                                           
                                                    − p1(x)dx
                Y1(x) · y (x) − Y1(x) · y(x) = C e          .         (7.8)


                                              58

Страницы