Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Это уравнение легко решается. Действительно, поделим (7.8)
на Y
2
1
(x). Тогда левая часть получившегося уравнения будет
представлять собой производную частного двух функций:
⎛
⎜
⎝
y(x)
Y
1
(x)
⎞
⎟
⎠
=
Ce
−
p
1
(x)dx
Y
2
1
(x)
.
Проинтегрировав, получим искомое решение
y(x)=Y
1
(x) ·
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
Ce
−
p
1
(x)dx
Y
2
1
(x)
dx +
ˆ
C
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
.
ЛЕКЦИЯ 8
8.1. Теорема об общем решении линейного
неоднородного уравнения
Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение
L[ y ]=y
(n)
+ p
1
(x) y
(n−1)
+ p
2
(x) y
(n−2)
+ ... + p
n−1
(x) y
+
+ p
n
(x) y = f(x)(8.1)
и соответствующее ему однородное уравнение: L[ y ]=0.
Теорема. Если z(x) — частное решение неоднородного
линейного уравнения, то общее решение неоднородного линей-
ного уравнения есть Y (x)=z(x)+y(x), где y(x)=
n
i=1
C
i
y
i
(x)
— общее решение соответствующего однородного уравнения
L[ y ]=0.
Доказательство. Так как для уравнения L[ y ]=f(x)
справедлива теорема существования и единственности решения,
покажем, что для произвольных начальных данных задачи Ко-
ши Y
(k)
(x
0
)=Y
(k)
0
, (k =0, 1, ..., n −1) найдутся коэффициенты
C
i
такие, что
59
Это уравнение легко решается. Действительно, поделим (7.8)
на Y12(x). Тогда левая часть получившегося уравнения будет
представлять собой производную частного двух функций:
                                     
                 ⎛       ⎞       − p1(x)dx
                 ⎜ y(x) ⎟      Ce
                 ⎝       ⎠ =                     .
                   Y1(x)            Y12(x)
Проинтегрировав, получим искомое решение
                            ⎡                          ⎤
                             
                            ⎢ C e
                                 −   p 1 (x)dx          ⎥
           y(x) = Y1(x) · ⎢⎢⎣                  dx  + Ĉ ⎥
                                                        ⎥.
                                                        ⎦
                                  Y12(x)

                           ЛЕКЦИЯ 8

        8.1. Теорема об общем решении линейного
                  неоднородного уравнения
     Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение
  L[ y ] = y (n) + p1(x) y (n−1) + p2(x) y (n−2) + ... + pn−1(x) y +
                          + pn(x) y = f (x)                        (8.1)
и соответствующее ему однородное уравнение: L[ y ] = 0.
     Теорема. Если z(x) — частное решение неоднородного
линейного уравнения, то общее решение неоднородного линей-
                                                           n
                                                           
ного уравнения есть Y (x) = z(x)+y(x), где y(x) =               Ci yi(x)
                                                          i=1
— общее решение соответствующего однородного уравнения
L[ y ] = 0.
     Доказательство. Так как для уравнения L[ y ] = f (x)
справедлива теорема существования и единственности решения,
покажем, что для произвольных начальных данных задачи Ко-
                  (k)
ши Y (k)(x0) = Y0 , (k = 0, 1, ..., n − 1) найдутся коэффициенты
Ci такие, что
                                  59

Страницы