Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

требование)
n
i=1
C
i
(x) y
i
(x)=0.
y

(x)=
n
i=1
C
i
(x) y

i
(x)+
n
i=1
C
i
(x) y
i
(x), положим (это — второе
требование)
n
i=1
C
i
(x) y
i
(x)=0.
....................................................................................
y
(n−1)
(x)=
n
i=1
C
i
(x) y
(n−1)
i
(x)+
n
i=1
C
i
(x) y
(n−2)
i
(x),
положим ( это — (n−1)-ое требование )
n
i=1
C
i
(x) y
(n−2)
i
(x)=0.
y
(n)
(x)=
n
i=1
C
i
(x) y
(n)
i
(x)+
n
i=1
C
i
(x) y
(n−1)
i
(x).
Здесь мы уже не можем требовать, чтобы
n
i=1
C
i
(x) y
(n−1)
i
(x)=
0, поскольку функции C
i
(x) уже подчинены n − 1 требо-
ванию, а надо ещё удовлетворить и уравнению L[y]=f(x).
Подставим y(x),y
(x),y

(x), ... , y
(n)
(x) в уравнение. Получим
n
i=1
C
i
(x) y
(n−1)
i
(x)=f(x). Это и есть последнее условие, налага-
емое на C
i
(x). Таким образом, все функции C
i
(x) могут быть
определены из системы
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
n
i=1
C
i
(x) y
i
(x)=0,
n
i=1
C
i
(x) y
i
(x)=0,
..............................
n
i=1
C
i
(x) y
(n−2)
i
(x)=0,
n
i=1
C
i
(x) y
(n−1)
i
(x)=f(x).
Определитель этой системы W (x) =0, так как функ-
ции y
1
(x),y
2
(x), ... , y
n
(x) линейно независимы. Они являют-
ся фундаментальной системой решений однородного уравнения
61
                           n
                           
требование)                    Ci(x) yi(x) = 0.
                         i=1
                n
                              n
                               
    
 y (x) =     Ci(x) yi (x) + Ci(x)
                     
                                                           yi (x), положим (это — второе
         i=1                  i=1
                n
                
требование)        Ci(x) yi (x) = 0.
               i=1
....................................................................................
                     n
                                                     n
                                                      
                                                            Ci(x) yi
    (n−1)                           (n−1)                           (n−2)
y           (x) =          Ci(x)   yi     (x)     +                           (x),
                     i=1                              i=1
                                                                        n
                                                                        
                                                                              Ci(x) yi
                                                                                       (n−2)
положим ( это — (n − 1)-ое требование )                                                        (x) = 0.
                                                                        i=1
                n
                                              n
                                               
                                                     Ci(x) yi
    (n)                          (n)                           (n−1)
y (x) =               Ci(x)     yi (x)     +                           (x).
                i=1                            i=1
                                                                            n
                                                                            
                                                                                Ci(x) yi
                                                                                          (n−1)
Здесь мы уже не можем требовать, чтобы                                                            (x) =
                                                                          i=1
0, поскольку функции Ci(x) уже подчинены n − 1 требо-
ванию, а надо ещё удовлетворить и уравнению L[y] = f (x).
Подставим y(x), y (x), y (x), ... , y (n)(x) в уравнение. Получим
n

         Ci(x) yi
                 (n−1)
                           (x) = f (x). Это и есть последнее условие, налага-
i=1
емое на Ci(x). Таким образом, все функции Ci(x) могут быть
определены из системы
                               ⎧   n
                               ⎪   
                               ⎪
                               ⎪
                               ⎪
                               ⎪
                               ⎪
                               ⎪
                                         Ci(x) yi(x) = 0,
                               ⎪
                               ⎪   i=1
                               ⎪
                               ⎪    n
                               ⎪    
                               ⎪
                               ⎪
                               ⎪
                               ⎪
                               ⎪
                               ⎪
                                         Ci(x) yi (x) = 0,
                               ⎪
                               ⎪   i=1
                               ⎪
                               ⎨
                               ⎪
                               ⎪
                                   ..............................
                               ⎪
                               ⎪  n
                               ⎪
                               ⎪  
                                         Ci(x) yi
                               ⎪
                               ⎪
                                                     (n−2)
                               ⎪
                               ⎪
                               ⎪
                               ⎪
                                                             (x) = 0,
                               ⎪
                               ⎪ i=1
                               ⎪
                               ⎪  n
                               ⎪  
                               ⎪
                                         Ci(x) yi
                               ⎪                     (n−1)
                               ⎪
                               ⎪
                               ⎩                             (x) = f (x).
                                   i=1
           Определитель этой системы W (x) = 0, так как функ-
ции y1(x), y2(x), ... , yn(x) линейно независимы. Они являют-
ся фундаментальной системой решений однородного уравнения
                                                      61

Страницы