Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

го параметра. Если F (x)=
ψ(x)
ϕ(x)
f(x, s)ds, то
dF
dx
= f (x, ψ(x)) ψ
x
− f (x, ϕ(x)) ϕ
x
+
ψ(x)
ϕ(x)
f
x
(x, s)ds.
Дифференцируя по x соотношение (8.3), пользуясь приведен-
ной формулой и учитывая условия (8.2), которым должно удо-
влетворять решение K(x, s), получим
y
(x)=K(x, x)
$ %& '
=0
·f(x) · (x)
x
− K(x, x
0
) · f(x
0
) · (x
0
)
x
$ %& '
=0
+
+
x
x
0
K
x
(x, s)f(s)ds =
x
x
0
K
x
(x, s)f(s)ds.
Аналогично для второй и следующих производных имеем
y

(x)=
x
x
0
K

xx
(x, s) f(s)ds, ..., y
(n−1)
(x)=
x
x
0
K
(n−1)
x
n−1
(x, s) f(s)ds,
y
(n)
(x)=K
(n−1)
(x, x)
$ %& '
=1
·f(x)+
x
x
0
K
(n)
x
n
(x, s) f(s) ds =
= f(x)+
x
x
0
K
(n)
x
n
(x, s) f(s) ds.
Подставим эти производные в уравнение (7.1), и, учитывая, что
K(x, s) — решение однородного уравнения, получим
x
x
0
L[K(x, s)]
$ %& '
≡0
f(s) ds + f(x) ≡ f(x).
Тем самым мы показали, что если известно некоторое ре-
шение K(x, s) линейного однородного уравнения, зависящее от
одного параметра s и удовлетворяющее условиям (8.2), то част-
ное решение линейного неоднородного уравнения (8.1) можно
найти по формуле (8.3).
63
                                                     ψ(x)
                                                      
го параметра. Если F (x) =                                  f (x, s)ds, то
                                                    ϕ(x)

                                                    ψ(x)
                                                     
            dF                                
               = f (x, ψ(x)) ψx − f (x, ϕ(x)) ϕx +       fx (x, s)ds.
            dx                                     ϕ(x)

Дифференцируя по x соотношение (8.3), пользуясь приведен-
ной формулой и учитывая условия (8.2), которым должно удо-
влетворять решение K(x, s), получим
 y (x) = K(x,
          $ %&
               x)
                '
                  ·f (x) · (x)
                              x − K(x, x 0 ) · f (x 0 ) · (x 0 )
                                                          $ %& x'
                                                                  +
                          =0                                                              =0
      x                                  x
+          Kx (x, s)f (s)ds         =         Kx (x, s)f (s)ds.
      x0                                 x0
Аналогично для второй и следующих производных имеем
               x                                                          x
                                                                              (n−1)
y (x) =             Kxx (x, s)       f (s)ds, ..., y       (n−1)
                                                                   (x) =        Kxn−1 (x, s) f (s)ds,
              x0                                                           x0
                                                            x
                                                                   (n)
y   (n)
           (x) = K
                 $
                          (n−1)
                                 %&
                                   (x, x)' ·f (x) +              Kxn (x, s) f (s) ds =
                                                           x0
                               =1
                     x
                               (n)
= f (x) +                 Kxn (x, s) f (s) ds.
                     x0
Подставим эти производные в уравнение (7.1), и, учитывая, что
K(x, s) — решение однородного уравнения, получим
                          x
                               L[K(x, s)]' f (s) ds + f (x) ≡ f (x).
                          x0 $    %&
                                     ≡0
           Тем самым мы показали, что если известно некоторое ре-
шение K(x, s) линейного однородного уравнения, зависящее от
одного параметра s и удовлетворяющее условиям (8.2), то част-
ное решение линейного неоднородного уравнения (8.1) можно
найти по формуле (8.3).

                                                       63

Страницы