Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K(x, s)=−
sin as cos ax
a
+
cos as sin ax
a
=
sin a(x − s)
a
.
Тогда решение исходного уравнения, удовлетворяющего нулевым началь-
ным условиям, представимо в виде
y(x)=
1
a
x
x
0
sin a(x − s)f(s)ds.
ЛЕКЦИЯ 9
9.1. Линейные дифференциальные уравнения n-го
порядка с постоянными коэффициентами
На практике часто встречаются линейные уравнения n-го
порядка с постоянными коэффициентами, которые всегда мож-
но представить в виде
L[ y ]=y
(n)
+ a
1
y
(n−1)
+ ...+ a
n−1
y
+ a
n
y = f(x) , (9.1)
где a
1
,...,a
n
— заданные действительные числа. Рассмотрим
сначала однородные уравнения, то есть уравнения вида
L[ y ]=y
(n)
+ a
1
y
(n−1)
+ ...+ a
n−1
y
+ a
n
y =0. (9.2)
Оказывается, что интегрирование уравнения (9.2) всегда воз-
можно в элементарных функциях и сводится к алгебраическим
операциям.
Решения уравнения (9.2) будем искать в виде y = e
kx
, где
k — const. Подставим эту функцию в (9.2), получим
e
kx
(k
n
+ a
1
k
n−1
+ ... + a
n−1
k + a
n
)=0.
65
              sin as cos ax   cos as sin ax   sin a(x − s)
 K(x, s) = −                +               =              .
                    a               a               a
Тогда решение исходного уравнения, удовлетворяющего нулевым началь-
ным условиям, представимо в виде
                            1   x
                     y(x) =          sin a(x − s)f (s)ds.
                            a   x0




                           ЛЕКЦИЯ 9


   9.1. Линейные дифференциальные уравнения n-го
        порядка с постоянными коэффициентами

    На практике часто встречаются линейные уравнения n-го
порядка с постоянными коэффициентами, которые всегда мож-
но представить в виде

   L[ y ] = y (n) + a1y (n−1) + . . . + an−1y  + any = f (x) ,   (9.1)

где a1, . . . , an — заданные действительные числа. Рассмотрим
сначала однородные уравнения, то есть уравнения вида

     L[ y ] = y (n) + a1y (n−1) + . . . + an−1y  + any = 0 .     (9.2)

Оказывается, что интегрирование уравнения (9.2) всегда воз-
можно в элементарных функциях и сводится к алгебраическим
операциям.
    Решения уравнения (9.2) будем искать в виде y = ekx, где
k — const. Подставим эту функцию в (9.2), получим

             ekx (k n + a1k n−1 + ... + an−1k + an) = 0.


                                       65

Страницы