Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Отсюда, поскольку e
kx
=0, следует
F (k)
def
=
k
n
+ a
1
k
n−1
+ ... + a
n−1
k + a
n
=0. (9.3)
Уравнение (9.3) называется характеристическим уравнением
линейного дифференциального уравнения (9.2). Это алгебраи-
ческое уравнение n-го порядка. Согласно основной теореме ал-
гебры, любое уравнение n-го порядка имеет ровно n корней.
1. Характеристическое уравнение имеет n различ-
ных вещественных корней k
1
,k
2
, ..., k
n
. Им соответству-
ют n частных линейно независимых решений y
1
= e
k
1
x
,y
2
=
e
k
2
x
, ... , y
n
= e
k
n
x
уравнения (9.2). В линейной независимо-
сти этих функций можно убедиться, проверив, что определитель
Вронского этих функций отличен от нуля. В этом случае общее
решение уравнения имеет вид
y = C
1
e
k
1
x
+ C
2
e
k
2
x
+ ... + C
n
e
k
n
x
. (9.4)
2. Все корни различные, но среди них есть ком-
плексные. Пусть k
1
= α
1
+ iβ
1
,k
2
= α
1
− iβ
1
, ... , k
2s−1
=
α
s
+ iβ
s
,k
2s
= α
s
− iβ
s
− комплексные корни характеристиче-
ского уравнения, остальные корни k
2s+1
, ... , k
n
вещественные.
Частные решения для комплексных корней имеют вид: y
1
=
e
(α
1
+iβ
1
)x
,y
2
= e
(α
1
−iβ
1
)x
, ... , y
2s−1
= e
(α
s
+iβ
s
)x
,y
2s
= e
(α
s
−iβ
s
)x
, а
для действительных корней — y
2s+1
= e
k
2s+1
x
, ... , y
n
= e
k
n
x
. По-
скольку e
k
1
x
− решение, то L[ e
k
1
x
]=0. Воспользуемся в этом
соотношении известной формулой e
α+iβ
= e
α
(cos β + i sin β), по-
лучим L[ e
α
1
x
cos β
1
x+ie
α
1
x
sin β
1
x ]=0. Вследствие линейности
оператора, имеем L[ e
α
1
x
cos β
1
x ]+iL[ e
α
1
x
sin β
1
x ]=0.
66
Отсюда, поскольку ekx = 0, следует
                  def
            F (k) = k n + a1k n−1 + ... + an−1k + an = 0.           (9.3)

Уравнение (9.3) называется характеристическим уравнением
линейного дифференциального уравнения (9.2). Это алгебраи-
ческое уравнение n-го порядка. Согласно основной теореме ал-
гебры, любое уравнение n-го порядка имеет ровно n корней.
     1. Характеристическое уравнение имеет n различ-
ных вещественных корней k1, k2, ..., kn. Им соответству-
ют n частных линейно независимых решений y1 = ek1x, y2 =
ek2x, ... , yn = eknx уравнения (9.2). В линейной независимо-
сти этих функций можно убедиться, проверив, что определитель
Вронского этих функций отличен от нуля. В этом случае общее
решение уравнения имеет вид

                 y = C1ek1x + C2ek2x + ... + Cneknx.                (9.4)

     2.    Все корни различные, но среди них есть ком-
плексные. Пусть k1 = α1 + iβ1, k2 = α1 − iβ1, ... , k2s−1 =
αs + iβs, k2s = αs − iβs − комплексные корни характеристиче-
ского уравнения, остальные корни k2s+1, ... , kn вещественные.
Частные решения для комплексных корней имеют вид: y1 =
e(α1+iβ1)x, y2 = e(α1−iβ1)x, ... , y2s−1 = e(αs+iβs)x, y2s = e(αs−iβs)x, а
для действительных корней — y2s+1 = ek2s+1x, ... , yn = eknx. По-
скольку ek1x − решение, то L[ ek1x ] = 0. Воспользуемся в этом
соотношении известной формулой eα+iβ = eα (cos β + i sin β), по-
лучим L[ eα1x cos β1x+ieα1x sin β1x ] = 0. Вследствие линейности
оператора, имеем L[ eα1x cos β1x ] + iL[ eα1x sin β1x ] = 0.

                                    66

Страницы