Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Так как e
k
2
x
— тоже решение, то L[ e
k
2
x
]=0, следо-
вательно, L[ e
α
1
x
cos β
1
x − ie
α
1
x
sin β
1
x ]=L[ e
α
1
x
cos β
1
x ] −
iL[ e
α
1
x
sin β
1
x ]=0.
Комплексная величина равна нулю тогда и только тогда,
когда равны нулю действительная и мнимая части этой величи-
ны: L[ e
α
1
x
cos β
1
x ]=0,L[ e
α
1
x
sin β
1
x ]=0.
Таким образом, каждой паре комплексно-сопряженных кор-
ней характеристического уравнения соответствуют два линейно
независимых решения вида e
αx
cos βx и e
αx
sin βx.
В результате получаем систему n линейно независимых
решений e
α
1
x
cos β
1
x, e
α
1
x
sin β
1
x, e
α
2
x
cos β
2
x, e
α
2
x
sin β
2
x, ... ,
e
α
s
x
cos β
s
x, e
α
s
x
sin β
s
x, e
k
2s+1
x
, ... , e
k
n
x
, линейная комбинация
которых дает общее решение.
3. Имеются кратные вещественные корни. Пусть
k
1
– корень характеристического полинома кратности m
1
. Тогда
в F (k) всегда можно выделить множитель (k − k
1
)
m
1
:
F (k)=(k − k
1
)
m
1
· ϕ(k), (9.5)
причем ϕ(k
1
) =0. Покажем, что решениями уравнения (9.2)
в исследуемом случае будут m
1
функций y
1
= e
k
1
x
,y
2
=
xe
k
1
x
, ... , y
m
1
= x
m
1
−1
e
k
1
x
.
Вначале покажем, что L
xe
k
1
x
=0. Для этого восполь-
зуемся очевидным равенством L
e
kx
= e
kx
F (k), атакже
обратим внимание на то, что xe
kx
=
d
dk
e
kx
. Используя (9.5),
получим
L
xe
kx
= L
⎡
⎣
d
dk
e
kx
⎤
⎦
=
d
dk
L
e
kx
=
d
dk
e
kx
F (k)
=
67
     Так как ek2x — тоже решение, то L[ ek2x ] = 0, следо-
вательно, L[ eα1x cos β1x − ieα1x sin β1x ] = L[ eα1x cos β1x ] −
iL[ eα1x sin β1x ] = 0.
     Комплексная величина равна нулю тогда и только тогда,
когда равны нулю действительная и мнимая части этой величи-
ны: L[ eα1x cos β1x ] = 0, L[ eα1x sin β1x ] = 0.
     Таким образом, каждой паре комплексно-сопряженных кор-
ней характеристического уравнения соответствуют два линейно
независимых решения вида eαx cos βx и eαx sin βx.
     В результате получаем систему n линейно независимых
решений eα1x cos β1x, eα1x sin β1x, eα2x cos β2x, eα2x sin β2x, ... ,
eαsx cos βsx, eαsx sin βsx, ek2s+1x, ... , eknx, линейная комбинация
которых дает общее решение.
     3.   Имеются кратные вещественные корни.                                     Пусть
k1– корень характеристического полинома кратности m1. Тогда
в F (k) всегда можно выделить множитель (k − k1)m1 :

                          F (k) = (k − k1)m1 · ϕ(k),                                  (9.5)

причем ϕ(k1) = 0.         Покажем, что решениями уравнения (9.2)
в исследуемом случае будут m1 функций y1 = ek1x, y2 =
xek1x, ... , ym1 = xm1−1ek1x.
                                                     
     Вначале покажем, что L x e               k1 x
                                                          = 0. Для этого восполь-
                                                         
зуемся очевидным равенством L e                      kx
                                                              = ekx F (k), а также
                                                           d kx
обратим внимание на то, что x ekx =                          e . Используя (9.5),
                                                          dk
получим
                      ⎡        ⎤
                       d kx⎦  d                              d               
          kx                                         kx                  kx
   L xe            = L⎣    e =    L               e           =          e    F (k) =
                        dk     dk                               dk
                                         67

Страницы