Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

[(k − k
1
)
m
1
A(k)]
(m
1
−1)
= C
0
m
1
−1
[(k − k
1
)
m
1
]
(m
1
−1)
A(k)+
+C
1
m
1
−1
[(k − k
1
)
m
1
]
(m
1
−2)
A
k
(k)+C
2
m
1
−1
[(k − k
1
)
m
1
]
(m
1
−3)
A

kk
(k)+
+ ... + C
s
m
1
−1
[(k − k
1
)
m
1
]
(m
1
−1−s)
A
(s)
k
s
(k)+... +
+C
m
1
−1
m
1
−1
(k − k
1
)
m
1
A
(m
1
−1)
k
m
1
−1
(k),
получим
d
m
1
−1
dk
m
1
−1
[(k − k
1
)
m
1
A(k)] = C
0
m
1
−1
m
1
(m
1
−1)...4·3·2·(k−k
1
)A(k)+
+ C
1
m
1
−1
m
1
(m
1
− 1) ... 4 · 3 · (k − k
1
)
2
A
k
(k)+...
... + C
s
m
1
−1
m
1
(m
1
−1) ... (m
1
−s +1)(k −k
1
)
m
1
−s
A
(s)
k
s
(k)+...
... + C
m
1
−1
m
1
−1
(k − k
1
)
m
1
A
(m
1
−1)
k
m
1
−1
(k).
Очевидно, что полученное выражение при k = k
1
обращается в
нуль, L
x
m
1
−1
e
k
1
x
=0, поскольку каждое слагаемое содержит
множитель (k − k
1
) в соответствующей степени. Таким обра-
зом, мы показали, что y
m
1
= x
m
1
−1
e
k
1
x
является решением
уравнения (9.2).
Покажем теперь, что функция y = x
m
1
e
k
1
x
решени-
ем уравнения (9.2) не является. После вычислений, аналогично
проведенным выше, получим
L
x
m
1
e
k
1
x
=
d
m
1
dk
m
1
[(k − k
1
)
m
1
A(k)] = C
0
m
1
(m
1
)! A(k)+
+ C
1
m
1
m
1
(m
1
− 1) ... 4 · 3 · 2(k − k
1
) A
k
(k)+...
... + C
s
m
1
m
1
(m
1
− 1) ... (m
1
− s +1)(k − k
1
)
m
1
−s
A
(s)
k
s
(k)+...
... + C
m
1
m
1
(k − k
1
)
m
1
A
(m
1
)
k
m
1
(k).
Поскольку A(k)
def
=
e
kx
ϕ(k), а ϕ(k
1
) =0, ясно,чтовпо-
лученном выражении первое слагаемое при k = k
1
внуль
69
[ (k − k1)m1 A(k) ](m1−1) = Cm
                             0
                               1 −1 [ (k − k 1 )m1 (m1 −1)
                                                   ]       A(k)+
                    m1 (m1 −2)                          m1 (m1 −3) 
  1
+Cm 1 −1 [(k − k 1 )  ]       Ak (k)+Cm
                                       2
                                         1 −1 [(k − k 1 )  ]       Akk (k)+
                            m1 (m1 −1−s)          (s)
         s
+ ... + Cm 1 −1 [ (k − k 1 )  ]          Aks (k) + ... +
  m1 −1                         (m −1)
+Cm 1 −1 (k − k 1 )m1
                      A   1
                        k 1 −1
                         m     (k),
получим
 dm1−1
         [(k − k 1 )m1
                       A(k)] = C 0
                                   1 −1
                                        m1(m1 −1)...4·3·2·(k −k1)A(k)+
dk m1−1                         m

+ Cm1
      1 −1
           m1 (m1 − 1) ... 4 · 3 · (k − k1)2 Ak (k) + ...
              m1 (m1 − 1) ... (m1 − s + 1) (k − k1)m1−s Aks (k) + ...
       s                                                      (s)
... + Cm 1 −1
       m1 −1                        (m −1)
... + Cm 1 −1
              (k − k1)m1 Akm11−1 (k).
Очевидно, что полученное выражение при k = k1 обращается в
                           
             m1 −1
нуль, L x            k1 x
                     e          = 0, поскольку каждое слагаемое содержит
множитель (k − k1) в соответствующей степени. Таким обра-
зом, мы показали, что ym1 = xm1−1 ek1x является решением
уравнения (9.2).
     Покажем теперь, что функция y = xm1 ek1x решени-
ем уравнения (9.2) не является. После вычислений, аналогично
проведенным выше, получим
               dm1
L x em1 k1 x
               = m [(k − k1)m1 A(k)] = Cm       0
                                                  1
                                                    (m1)! A(k)+
                dk 1
+ Cm1
      1
        m1 (m1 − 1) ... 4 · 3 · 2 (k − k1) Ak (k) + ...
           m1 (m1 − 1) ... (m1 − s + 1) (k − k1)m1−s Aks (k) + ...
       s                                                     (s)
... + Cm 1
                                  (m )
       m1
... + Cm 1
           (k − k1)m1 Akm11 (k).
                         def
Поскольку A(k) = ekx ϕ(k), а ϕ(k1) = 0, ясно, что в по-
лученном выражении первое слагаемое при k = k1                      в нуль

                                             69

Страницы