Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Действительно,
y
x
=
dy
dx
=
dy
e
t
dt
= e
−t
y
t
,y

=
dy
x
dx
=
d(e
−t
y
t
)
e
t
dt
= e
−2t
(y

tt
− y
t
),
y

xxx
= e
−3t
(y

ttt
− 3y

tt
+2y
t
), ...
и т.д.
Легко видеть, что после подстановки этих производных, урав-
нение примет вид
a
0
y
(n)
t
n
+ b
1
y
(n−1)
t
n−1
+ ... + b
n−1
y
t
+ a
n
y = f(e
t
).
Это и есть уравнение с постоянными коэффициентами, которое
решается уже известными нам методами.
ЛЕКЦИЯ 10
10.1. Понятие о краевых задачах
В предыдущих лекциях изучение дифференциальных урав-
нений было в основном посвящено решению задачи Коши, в ко-
торой в качестве дополнительных условий задаются начальные
данные, определяющие значения неизвестной функции и ее про-
изводных при одном фиксированном значении независимой пе-
ременной.
Однако часто приходится решать, так называемые, краевые
или граничные задачи. В этих задачах значение искомой функ-
ции, ее производных или их линейных комбинаций задается не
в одной, а в двух точках, ограничивающих отрезок, на котором
требуется определить решение. Например, в задаче о движении
71
        Действительно,
          dy   dy             dyx   d(e−tyt )
  yx   =           −t    
             = t = e yt , y =      =            = e−2t
                                                       (y 
                                                          tt − y 
                                                                 t ),
          dx e dt             dx       etdt
                       
                      yxxx = e−3t (yttt
                                    
                                        − 3ytt + 2yt ), ...
и т.д.
Легко видеть, что после подстановки этих производных, урав-
нение примет вид

            a0 ytn + b1 ytn−1 + ... + bn−1 yt + an y = f (et).
                (n)          (n−1)


Это и есть уравнение с постоянными коэффициентами, которое
решается уже известными нам методами.


                                ЛЕКЦИЯ 10


                10.1. Понятие о краевых задачах

        В предыдущих лекциях изучение дифференциальных урав-
нений было в основном посвящено решению задачи Коши, в ко-
торой в качестве дополнительных условий задаются начальные
данные, определяющие значения неизвестной функции и ее про-
изводных при одном фиксированном значении независимой пе-
ременной.
        Однако часто приходится решать, так называемые, краевые
или граничные задачи. В этих задачах значение искомой функ-
ции, ее производных или их линейных комбинаций задается не
в одной, а в двух точках, ограничивающих отрезок, на котором
требуется определить решение. Например, в задаче о движении
                                         71

Страницы