Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим подробнее краевые задачи для линейных урав-
нений второго порядка
y

+ p
1
(x) y
+ p
2
(x) y = ϕ(x)(10.1)
с линейными граничными условиями вида
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
α
1
y
(x
0
)+β
1
y(x
0
)=u
0
,
α
2
y
(x
1
)+β
2
y(x
1
)=u
1
,
x
0
≤ x ≤ x
1
, (10.2)
где α
i
,β
i
(i =1, 2),u
0
,u
1
— заданные числа, часть из
которых может быть равна нулю, причем α
2
i
+β
2
i
=0, (i =1, 2).
Если α
i
=0 (i =1, 2), то соответствующее граничное
условие обычно называется условием первого рода, если β
i
=
0(i =1, 2) — условием второго рода, а если α
i
,β
i
(i =1, 2)
одновременно отличны от нуля — условием третьего рода.
Краевые задачи, в которых правая часть уравнения не рав-
на нулю, будем называть неоднородными краевыми задачами.
Краевые задачи для однородного уравнения с нулевыми
граничными условиями (u
0
= u
1
=0) будем называть однород-
ными краевыми задачами.
Если мы рассматриваем краевую задачу первого рода с
ненулевыми граничными условиями
y(x
0
)=y
0
,y(x
1
)=y
1
, (10.3)
то легко показать, что линейной заменой переменных
z = y − y
0
−
y
1
− y
0
x
1
− x
0
(x − x
0
)(10.4)
граничные условия (10.3) сводятся к нулевым z(x
0
)=0,z(x
1
)=
0, причем линейность уравнения не нарушается и уравнение
73
    Рассмотрим подробнее краевые задачи для линейных урав-
нений второго порядка

                     y  + p1(x) y  + p2(x) y = ϕ(x)           (10.1)

с линейными граничными условиями вида
       ⎧
       ⎪
       ⎪
       ⎨   α1y (x0) + β1y(x0) = u0,
       ⎪
       ⎪      
                                               x0 ≤ x ≤ x 1 ,    (10.2)
       ⎩   α2y (x1) + β2y(x1) = u1,
где αi, βi        (i = 1, 2), u0, u1        — заданные числа, часть из
которых может быть равна нулю, причем αi2 +βi2 = 0, (i = 1, 2).
    Если αi = 0         (i = 1, 2), то соответствующее граничное
условие обычно называется условием первого рода, если βi =
0 (i = 1, 2) — условием второго рода, а если αi, βi (i = 1, 2)
одновременно отличны от нуля — условием третьего рода.
    Краевые задачи, в которых правая часть уравнения не рав-
на нулю, будем называть неоднородными краевыми задачами.
    Краевые задачи для однородного уравнения с нулевыми
граничными условиями (u0 = u1 = 0) будем называть однород-
ными краевыми задачами.
    Если мы рассматриваем краевую задачу первого рода с
ненулевыми граничными условиями

                        y(x0) = y0,        y(x1) = y1,           (10.3)

то легко показать, что линейной заменой переменных
                              y1 − y 0
                 z = y − y0 −          (x − x0)                  (10.4)
                              x1 − x 0
граничные условия (10.3) сводятся к нулевым z(x0) = 0, z(x1) =
0, причем линейность уравнения не нарушается и уравнение
                                      73

Страницы