Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Типичной задачей на собственные значения для линейного
дифференциального уравнения второго порядка является зада-
ча определения значений параметра λ, при которых существу-
ют нетривиальные на x
0
≤ x ≤ x
1
решения задачи
L[ y ]+λρ(x) y(x)=0,
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
α
1
y
(x
0
)+β
1
y(x
0
)=0,
α
2
y
(x
1
)+β
2
y(x
1
)=0,
(10.7)
где ρ(x) > 0 — известная, непрерывная на [x
0
,x
1
] функция.
Такая задача на собственные значения называется задачей
Штурма — Лиувилля.
Значения параметра λ, при которых задача (10.7) имеет
нетривиальные решения, называются собственными значения-
ми, а соответствующие им нетривиальные решения — собствен-
ными функциями краевой задачи на собственные значения.
Собственные функции задачи Штурма — Лиувилля обла-
дают рядом замечательных свойств, которые широко использу-
ются не только при решении краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений, но и при решении краевых за-
дач уравнений в частных производных.
Имеют место следующие свойства собственных значений и
собственных функций краевой задачи (10.7).
Свойство 1. Существует бесконечное счётное множе-
ство {λ
n
} собственных значений и соответствующая им
бесконечная последовательность {y
n
(x)} собственных функ-
ций.
Это свойство мы доказывать не будем.
Все собственные значения можно занумеровать в порядке
возрастания их абсолютной величины |λ
1
|≤|λ
2
|≤...
75
       Типичной задачей на собственные значения для линейного
дифференциального уравнения второго порядка является зада-
ча определения значений параметра λ, при которых существу-
ют нетривиальные на x0 ≤ x ≤ x1 решения задачи
                               ⎧
                               ⎪
                               ⎪
                               ⎨   α1y (x0) + β1y(x0) = 0,
   L[ y ] + λ ρ(x) y(x) = 0,   ⎪                              (10.7)
                               ⎪
                               ⎩   α2y (x1) + β2y(x1) = 0,
где ρ(x) > 0 — известная, непрерывная на [x0, x1] функция.
       Такая задача на собственные значения называется задачей
Штурма — Лиувилля.
       Значения параметра λ, при которых задача (10.7) имеет
нетривиальные решения, называются собственными значения-
ми, а соответствующие им нетривиальные решения — собствен-
ными функциями краевой задачи на собственные значения.
       Собственные функции задачи Штурма — Лиувилля обла-
дают рядом замечательных свойств, которые широко использу-
ются не только при решении краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений, но и при решении краевых за-
дач уравнений в частных производных.
       Имеют место следующие свойства собственных значений и
собственных функций краевой задачи (10.7).
       Свойство 1. Существует бесконечное счётное множе-
ство     {λn}   собственных значений и соответствующая им
бесконечная последовательность {yn(x)} собственных функ-
ций.
       Это свойство мы доказывать не будем.
       Все собственные значения можно занумеровать в порядке
возрастания их абсолютной величины |λ1| ≤ |λ2| ≤ ...
                                   75

Страницы