Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

функции y
n
(x)
d
dx
⎡
⎣
p(x)
dy
n
dx
⎤
⎦
− q(x)y
n
(x)+λ
n
ρ(x)y
n
(x)=0
на функцию y
n
(x) и проинтегрируем результат по [ x
0
,x
1
].
Получим
x
1
x
0
d
dx
⎡
⎣
p(x)
dy
n
dx
⎤
⎦
y
n
(x)dx −
x
1
x
0
q(x)y
2
n
(x)dx + λ
n
x
1
x
0
ρ(x)y
2
n
(x)dx =0.
Преобразуем первый интеграл по частям:
x
1
x
0
d
dx
⎡
⎣
p(x)
dy
n
dx
⎤
⎦
y
n
(x)dx = p(x)
dy
n
dx
· y
n
(x)
x
1
x
0
$
%& '
=0
−
x
1
x
0
p(x)
⎛
⎝
dy
n
dx
⎞
⎠
2
dx.
Первое слагаемое в правой части этого равенства равно нулю в
силу граничных условий. Окончательно получим
λ
n
x
1
x
0
ρ(x)y
2
n
(x)dx =
x
1
x
0
p(x)
⎛
⎝
dy
n
dx
⎞
⎠
2
dx +
x
1
x
0
q(x)y
2
n
(x)dx,
что и доказывает утверждение.
Свойство 4. Собственные функции y
n
(x) образуют на
[ x
0
,x
1
] ортогональную с весом ρ(x) систему {y
n
(x)} :
x
1
x
0
y
n
(x) y
m
(x) ρ(x) dx =0,m= n.
Доказательство. Поскольку каждому собственному зна-
чению отвечает только одна собственная функция, то необхо-
димо рассмотреть только случай, когда собственные функции
y
n
(x) и y
m
(x) соответствуют различным собственным значе-
ниям λ
n
= λ
m
.
Запишем для этих собственных функций уравнения
L[y
n
(x)] + λ
n
ρ(x) y
n
(x)=0,L[y
m
(x)] + λ
m
ρ(x) y
m
(x)=0.
77
функции yn(x)
            ⎡         ⎤
          d ⎣     dyn ⎦
             p(x)       − q(x)yn(x) + λnρ(x)yn (x) = 0
         dx       dx
на функцию yn(x) и проинтегрируем результат по [ x0, x1 ].
Получим
         ⎡           ⎤
x1    d ⎣     dyn ⎦          x1              x1
          p(x)       yn(x)dx − q(x)yn(x)dx + λn ρ(x)yn2 (x)dx = 0.
                                    2
x0    dx       dx             x0               x0

Преобразуем первый интеграл по частям:
          ⎡          ⎤                                              ⎛   ⎞
 x1    d ⎣     dyn ⎦                dyn         x1  x1   dyn ⎠2
                                                 
           p(x)       yn(x)dx = p(x)     · yn(x) − p(x)
                                                         ⎝        dx.
x0     dx       dx                   dx            x0 x0    dx
                                     $        %&           '
                                              =0
Первое слагаемое в правой части этого равенства равно нулю в
силу граничных условий. Окончательно получим
                                    2    ⎛         ⎞
              x1             dy   x1    x1
              2                  n
      λn ρ(x)yn(x)dx = p(x) ⎝      ⎠ dx +     q(x)yn2 (x)dx,
        x0             x0     dx          x0
что и доказывает утверждение.
        Свойство 4. Собственные функции yn(x) образуют на
[ x0, x1 ] ортогональную с весом ρ(x) систему {yn(x)} :
                    x1
                          yn(x) ym(x) ρ(x) dx = 0,         m = n.
                    x0


        Доказательство. Поскольку каждому собственному зна-
чению отвечает только одна собственная функция, то необхо-
димо рассмотреть только случай, когда собственные функции
yn(x) и ym(x) соответствуют различным собственным значе-
ниям λn = λm.
        Запишем для этих собственных функций уравнения

     L[yn(x)] + λn ρ(x) yn(x) = 0,        L[ym(x)] + λm ρ(x) ym(x) = 0.
                                         77

Страницы