Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

то она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на
[x
0
,x
1
] ряд по собственным функциям y
n
(x) задачи Штурма
— Лиувилля:
f(x)=
∞
n=1
a
n
y
n
(x). (10.8)
Доказательство теоремы Стеклова здесь не будем приво-
дить. Укажем только, что свойство ортогональности собствен-
ных функций позволяет легко определить коэффициенты разло-
жения a
n
. Действительно, умножая обе части формулы (10.8)
на y
m
(x) ρ(x) и интегрируя результат по [ x
0
,x
1
] (почленное
интегрирование ряда возможно в силу его равномерной сходи-
мости), получаем
a
m
=
x
1
x
0
f(x)y
m
(x)ρ(x)dx
x
1
x
0
y
2
m
(x)ρ(x)dx
. (10.9)
Выражение в знаменателе называется квадратом нормы соб-
ственной функции и обозначается
y
m
2
= N
2
m
=
x
1
x
0
y
2
m
(x)ρ(x)dx. (10.10)
Так как собственные функции определены с точностью до по-
стоянного множителя, то во многих случаях их нормируют так,
чтобы N
m
=1. В этом случае система {y
n
(x)} является
ортонормированной.
Пример. Хорошо известное уравнение
y

+ a
2
y =0, (10.11)
очевидно, является частным случаем более общего уравнения (10.7)
d
dx
[ p(x) y
] − q(x)y + λρ(x) y(x)=0,
79
то она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на
[x0, x1] ряд по собственным функциям yn(x) задачи Штурма
— Лиувилля:
                                           ∞
                                           
                             f (x) =                 anyn(x).         (10.8)
                                           n=1
     Доказательство теоремы Стеклова здесь не будем приво-
дить. Укажем только, что свойство ортогональности собствен-
ных функций позволяет легко определить коэффициенты разло-
жения an. Действительно, умножая обе части формулы (10.8)
на ym(x) ρ(x) и интегрируя результат по [ x0, x1 ] (почленное
интегрирование ряда возможно в силу его равномерной сходи-
мости), получаем
                               x1
                              x0
                                     f (x)ym (x)ρ(x)dx
                     am =            x1                        .     (10.9)
                                        y 2 (x)ρ(x)dx
                                     x0   m

Выражение в знаменателе называется квадратом нормы соб-
ственной функции и обозначается
                                               x1
                         2
                  ym =       Nm2         =          2
                                                     ym (x)ρ(x)dx.   (10.10)
                                               x0

Так как собственные функции определены с точностью до по-
стоянного множителя, то во многих случаях их нормируют так,
чтобы Nm = 1. В этом случае система {yn(x)} является
ортонормированной.

     Пример. Хорошо известное уравнение

                                   y  + a2 y = 0,                  (10.11)

очевидно, является частным случаем более общего уравнения (10.7)
                  d
                    [ p(x) y  ] − q(x)y + λ ρ(x) y(x) = 0,
                 dx
                                           79

Страницы