Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

если положить в последнем
p(x)=1,q(x)=0,ρ(x)=1,λ= a
2
.
Найдем решение уравнения (10.11), удовлетворяющее граничным усло-
виям y(0) = y(l)=0. Иначе говоря, решим для этого уравнения задачу
Штурма — Лиувилля.
Общее решение имеет вид y(x)=C
1
cos ax + C
2
sin ax. Из первого
граничного условия следует, что C
1
=0, следовательно, y(x)=C
2
sin ax.
Вследствие второго граничного условия, y(k)=C
2
sin al =0. Так как C
2
не может быть равным нулю, потребуем sin al =0. Тогда al = πn, a =
πn
l
,a
2
=
πn
l
2
def
=
λ
n
.
Ясно, что этот результат является очевидным отражением свойств 1
и 3 краевой задачи (10.7).
Решение уравнения (10.11), удовлетворяющее поставленным гранич-
ным условиям, имеет вид y(x)=C
2
sin
nπ
l
x. Такой вид решения является
отражением свойства 2: каждому собственному значению соответствует с
точностью до постоянного множителя только одна собственная функция.
Из курса математического анализа известно, что функции sin
nπ
l
x,
(n =1, 2, 3, ...) образуют на интервале (0,l) ортогональную систему
функций с весом равным 1, по которой заданную на интервале (0,l)
функцию f(x) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье
f(x)=
∞
n=1
β
n
sin
nπ
l
x,
где
β
n
=
2
l
l
0
f(x)sin
nπx
l
dx, (n =1, 2, 3, ...).
Этот результат, очевидно, является отражением доказанного нами ра-
нее свойства 4 и теоремы разложимости В.А. Стеклова.
80
если положить в последнем

                  p(x) = 1, q(x) = 0, ρ(x) = 1, λ = a2 .

      Найдем решение уравнения (10.11), удовлетворяющее граничным усло-
виям y(0) = y(l) = 0. Иначе говоря, решим для этого уравнения задачу
Штурма — Лиувилля.
      Общее решение имеет вид y(x) = C1 cos ax + C2 sin ax. Из первого
граничного условия следует, что C1 = 0, следовательно, y(x) = C2 sin ax.
Вследствие второго граничного условия, y(k) = C2 sin al = 0. Так как C2
не может бытьравным нулю, потребуем sin al = 0. Тогда al = πn, a =
πn          πn 2 def
   , a2 =        = λn .
 l           l
      Ясно, что этот результат является очевидным отражением свойств 1
и 3 краевой задачи (10.7).

     Решение уравнения (10.11), удовлетворяющее поставленным гранич-
                                      nπ
ным условиям, имеет вид y(x) = C2 sin    x. Такой вид решения является
                                       l
отражением свойства 2: каждому собственному значению соответствует с
точностью до постоянного множителя только одна собственная функция.
                                                                nπ
     Из курса математического анализа известно, что функции sin    x,
                                                                 l
(n = 1, 2, 3, ...) образуют на интервале (0, l) ортогональную систему
функций с весом равным 1, по которой заданную на интервале (0, l)
функцию f (x) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье
                                      ∞
                                                    nπ
                            f (x) =         βn sin      x,
                                      n=1             l
где
                      2 l           nπx
                 βn =      f (x) sin     dx, (n = 1, 2, 3, ...).
                      l0              l

      Этот результат, очевидно, является отражением доказанного нами ра-
нее свойства 4 и теоремы разложимости В.А. Стеклова.




                                        80

Страницы