Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Граничные условия, очевидно, выполняются в силу свой-
ства 3) функции Грина. Покажем, что функция (11.2) удовле-
творяет уравнению (11.1). Для этого найдём y
(x) и y

(x) и
подставим их в уравнение (11.1).
y
(x)=
x
1
x
0
G
x
(x, s)f(s)ds =
x
x
0
G
x
(x, s)f(s)ds+
x
1
x
G
x
(x, s)f(s)ds.
Для того чтобы найти вторую производную, воспользуемся
уже знакомой формулой дифференцирования интеграла, зави-
сящего от параметра: если F (x)=
ψ(x)
ϕ(x)
f(x, s)ds, то
dF
dx
=
d
dx
ψ(x)
ϕ(x)
f(x, s)ds = f (x, ψ(x)) ψ
x
− f (x, ϕ(x)) ϕ
x
+
ψ(x)
ϕ(x)
f
x
(x, s)ds.
Получим
y

(x)=
x
x
0
G

xx
(x, s)f(s)ds + G
x
(x, x − 0)f(x)+
+
x
1
x
G

xx
(x, s)f(s)ds − G
x
(x, x +0)f(x)=
=
x
x
0
G

xx
(x, s)f(s)ds + f(x)[G
x
(x, x − 0) − G
x
(x, x +0)]=
=
x
x
0
G

xx
(x, s)f(s)ds + f(x)[G
x
(x +0,x) − G
x
(x − 0,x)].
Подставим y
(x),y

(x) в уравнение (11.1). В силу условий 2) и
4) нетрудно видеть, что это уравнение действительно выполнено
тождественно:
x
1
x
0
[p(x)G

xx
(x, s)+p
x
(x) · G
x
(x, s) − q(x)G(x, s)]
$ %& '
=0
f(s)ds+
82
      Граничные условия, очевидно, выполняются в силу свой-
ства 3) функции Грина. Покажем, что функция (11.2) удовле-
творяет уравнению (11.1). Для этого найдём y (x) и y (x) и
подставим их в уравнение (11.1).
                 x1                                  x                       x1
  
 y (x) =               Gx(x, s)f (s)ds           =        Gx(x, s)f (s)ds+         Gx(x, s)f (s)ds.
                 x0                                   x0                       x

      Для того чтобы найти вторую производную, воспользуемся
уже знакомой формулой дифференцирования интеграла, зави-
                                   ψ(x)
                                                      dF
сящего от параметра: если F (x) =       f (x, s)ds, то    =
                                  ϕ(x)                 dx
 d ψ(x)
                                                        ψ(x)
                                                          
        f (x, s)ds = f (x, ψ(x)) ψx − f (x, ϕ(x)) ϕx +      fx (x, s)ds.
dx ϕ(x)                                                  ϕ(x)

Получим
                                      x
                      
                 y (x) =                   Gxx(x, s)f (s)ds + Gx(x, x − 0)f (x)+
                                      x0
                               x1
                           +         Gxx(x, s)f (s)ds − Gx(x, x + 0)f (x) =
                               x
           x
      =         Gxx(x, s)f (s)ds + f (x) [Gx(x, x − 0) − Gx(x, x + 0)] =
          x0
            x
      =          Gxx(x, s)f (s)ds + f (x) [Gx(x + 0, x) − Gx(x − 0, x)].
            x0
Подставим y (x), y (x) в уравнение (11.1). В силу условий 2) и
4) нетрудно видеть, что это уравнение действительно выполнено
тождественно:
      x1
                                       
            [p(x)G
            $      xx (x, s) + p x (x) · G
                                       %& x
                                            (x, s) − q(x)G(x, s)]' f (s)ds+
      x0
                                                      =0




                                                            82

Страницы