Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

+p(x)[G
x
(x +0,x) − G
x
(x − 0,x)]
$ %& '
=1/p(x)
f(x) ≡ f(x).
11.2 Метод построения функции Грина
Мы знаем, что функция Грина удовлетворяет однородному
линейному уравнению
d
dx
[ p(x) y
] − q(x)y =0. Найдем реше-
ние y
1
(x) этого уравнения, определяемое начальными услови-
ями y
1
(x
0
)=0,y
1
(x
0
) =0, и удовлетворяющее требованию
y
1
(x
1
) =0. (Случай y
1
(x
0
)=y
1
(x
1
)=0является исклю-
чительным и мы не будем его здесь рассматривать.) Очевид-
но, что C
1
· y
1
(x), где C
1
— постоянная, также является реше-
нием того же уравнения и удовлетворяет граничному условию
C
1
· y
1
(x
0
)=0.
Аналогично найдём нетривиальное решение y
2
(x), удовле-
творяющее условию y
2
(x
1
)=0. Этому же условию удовлетво-
ряют все решения семейства C
2
·y
2
(x), где C
2
— произвольная
постоянная.
Функцию Грина ищем в виде
G(x, s)=
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
C
1
(s) y
1
(x) при x
0
≤ x ≤ s,
C
2
(s) y
2
(x) при s ≤ x ≤ x
1
,
(11.3)
причём постоянные C
1
(s) и C
2
(s) выберем так, чтобы выпол-
нялись свойства 1) — 4), которыми должна обладать функция
Грина, то есть функция G(x, s) была бы непрерывна по x при
фиксированном s и, в частности, непрерывна в точке x = s,
а производная функции Грина G
x
(x, s) в точке x = s имела
83
                                   
         +p(x) [G
               $  x (x + 0, x) −
                               %&
                                  G x (x − 0, x)]' f (x) ≡ f (x).
                             =1/p(x)


            11.2 Метод построения функции Грина

    Мы знаем, что функция Грина удовлетворяет однородному
                       d
линейному уравнению      [ p(x) y  ] − q(x)y = 0. Найдем реше-
                      dx
ние y1(x) этого уравнения, определяемое начальными услови-
ями y1(x0) = 0, y1 (x0) = 0, и удовлетворяющее требованию
y1(x1) =    0.    (Случай y1(x0) = y1(x1) = 0 является исклю-
чительным и мы не будем его здесь рассматривать.) Очевид-
но, что C1 · y1(x), где C1 — постоянная, также является реше-
нием того же уравнения и удовлетворяет граничному условию
C1 · y1(x0) = 0.
     Аналогично найдём нетривиальное решение y2(x), удовле-
творяющее условию y2(x1) = 0. Этому же условию удовлетво-
ряют все решения семейства C2 · y2(x), где C2 — произвольная
постоянная.
     Функцию Грина ищем в виде
                       ⎧
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎨   C1(s) y1(x) при x0 ≤ x ≤ s,
             G(x, s) = ⎪                                            (11.3)
                       ⎪
                       ⎩   C2(s) y2(x) при s ≤ x ≤ x1,
причём постоянные C1(s) и C2(s) выберем так, чтобы выпол-
нялись свойства 1) — 4), которыми должна обладать функция
Грина, то есть функция G(x, s) была бы непрерывна по x при
фиксированном s и, в частности, непрерывна в точке x = s,
а производная функции Грина Gx(x, s) в точке x = s имела



                                    83

Страницы