Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

скачок
1
p(s)
:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
C
1
y
1
(s) − C
2
y
2
(s)=0,
C
2
y
2
(s) − C
1
y
1
(s)=
1
p(s)
.
(11.4)
В силу предположения y
1
(x
0
)=0,y
1
(x
1
) =0 и y
2
(x
1
)=
0,y
2
(x
0
) =0, решения y
1
(x) и y
2
(x) линейно независимы, так
как линейно зависимые от y
1
(x) решения имеют вид C
1
y
1
(x) и,
следовательно, при C
1
=0 не обращаются в нуль в точке x
1
,
в которой обращается в нуль решение y
2
(x). Это означает, что
определитель Вронского W [ y
1
,y
2
] ≡ W (x) решений y
1
,y
2
в любой точке отличен от нуля и постоянные C
1
и C
2
легко
находятся: C
1
=
y
2
(s)
W (s)p(s)
,C
2
=
y
1
(s)
W (s)p(s)
, откуда
G(x, s)=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
y
1
(x)y
2
(s)
W (s)p(s)
при x
0
≤ x ≤ s,
y
2
(x)y
1
(s)
W (s)p(s)
при s<x≤ x
1
.
(11.5)
Пример. Найти функцию Грина краевой задачи
y

(x)+y(x)=f(x),y(0) = 0,y(
π
/
2
)=0.
Решения соответствующего однородного уравнения, удовлетво-
ряющего поставленным граничным условиям, имеют вид y
1
(x)=
= C
1
sin x, y
2
(x)=C
2
cos x. Следовательно,
G(x, s)=
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
−cos s sin x при 0 ≤ x ≤ s,
−sin s cos x при s<x≤
π
/
2
.
84
          1
скачок        :
         p(s)
                     ⎧
                     ⎪
                     ⎪
                     ⎪
                     ⎪
                     ⎪
                     ⎨
                       C1 y1(s) − C2 y2(s) = 0,
                     ⎪ C y  (s) − C y  (s) =
                     ⎪                          1              (11.4)
                     ⎪
                     ⎪
                     ⎪
                     ⎩  2 2         1 1             .
                                               p(s)
     В силу предположения y1(x0) = 0, y1(x1) = 0 и y2(x1) =
0, y2(x0) = 0, решения y1(x) и y2(x) линейно независимы, так
как линейно зависимые от y1(x) решения имеют вид C1 y1(x) и,
следовательно, при C1 = 0 не обращаются в нуль в точке x1,
в которой обращается в нуль решение y2(x). Это означает, что
определитель Вронского W [ y1, y2 ] ≡ W (x) решений y1, y2
в любой точке отличен от нуля и постоянные C1 и C2 легко
                  y2(s)           y1(s)
находятся: C1 =           , C2 =           , откуда
                W (s)p(s)        W (s)p(s)
                             ⎧
                             ⎪
                             ⎪
                             ⎪   y1(x)y2(s)
                             ⎪
                             ⎪
                             ⎪
                             ⎪
                             ⎨
                                            при x0 ≤ x ≤ s,
               G(x, s) = ⎪       W (s)p(s)                     (11.5)
                         ⎪   ⎪   y2(x)y1(s)
                             ⎪
                             ⎪
                             ⎪
                             ⎪
                             ⎩
                                            при s < x ≤ x1.
                                 W (s)p(s)
     Пример. Найти функцию Грина краевой задачи

              y (x) + y(x) = f (x), y(0) = 0, y (π/2) = 0.

Решения соответствующего однородного уравнения, удовлетво-
ряющего поставленным граничным условиям, имеют вид y1(x) =
= C1 sin x,    y2(x) = C2 cos x. Следовательно,
                         ⎧
                         ⎪
                         ⎪
                         ⎨ − cos s sin x при 0 ≤ x ≤ s ,
              G(x, s) = ⎪
                        ⎪⎩ − sin s cos x при s < x ≤ π/ .
                                                       2


                                        84

Страницы