Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ЛЕКЦИЯ 12
12.1. Системы дифференциальных уравнений
Обратимся к физической задаче о движении материальной
точки массы m под действием силы
F (t, r,
dr
dt
). По второму
закону Ньютона
m
d
2
r
dt
2
=
F (t, r,
dr
dt
), (12.1)
где
F =
iP+
jQ+
kR. В координатной записи это векторное
уравнение может быть представлено в виде системы дифферен-
циальных уравнений второго порядка
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
m¨x = P (t, x, y, z, ˙x, ˙y, ˙z),
m¨y = Q(t, x, y, z, ˙x, ˙y, ˙z),
m¨z = R(t, x, y, z, ˙x, ˙y, ˙z).
(12.2)
Если принять за неизвестные функции не только x(t),y(t),z(t)
но и их производные ˙x(t), ˙y(t), ˙z(t), то получим следующую
систему дифференциальных уравнений первого порядка
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
˙x = u,
˙y = v,
˙z = w,
m ˙u = P (t, x, y, z, u, v, w),
m ˙v = Q(t, x, y, z, u, v, w),
m ˙w = R(t, x, y, z, u, v, w).
(12.3)
Как известно, для того чтобы решить поставленную задачу опи-
сания траектории движения точки, необходимо задать началь-
ное положение x
0
= x(t
0
) ,y
0
= y(t
0
),z
0
= z(t
0
) и скорость
u
0
= u(t
0
),v
0
= v(t
0
),w
0
= w(t
0
) точки.
86
                           ЛЕКЦИЯ 12

     12.1. Системы дифференциальных уравнений

    Обратимся к физической задаче о движении материальной
                                           dr
точки массы m под действием силы F (t, r, ). По второму
                                           dt
закону Ньютона
                        d2r         dr
                     m 2 = F (t, r,    ),              (12.1)
                        dt          dt
где F = i P + j Q + k R. В координатной записи это векторное
уравнение может быть представлено в виде системы дифферен-
циальных уравнений второго порядка
                  ⎧
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪   mẍ = P (t, x, y, z, ẋ, ẏ, ż),
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎨
                  ⎪
                  ⎪
                      mÿ = Q(t, x, y, z, ẋ, ẏ, ż),    (12.2)
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎩   mz̈ = R(t, x, y, z, ẋ, ẏ, ż).
Если принять за неизвестные функции не только x(t), y(t), z(t)
но и их производные ẋ(t), ẏ(t), ż(t), то получим следующую
систему дифференциальных уравнений первого порядка
                 ⎧
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                      ẋ = u,
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪    ẏ = v,
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎨    ż = w,
                 ⎪
                 ⎪
                                                          (12.3)
                 ⎪
                 ⎪    mu̇ = P (t, x, y, z, u, v, w),
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                      mv̇ = Q(t, x, y, z, u, v, w),
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎩    mẇ = R(t, x, y, z, u, v, w).
Как известно, для того чтобы решить поставленную задачу опи-
сания траектории движения точки, необходимо задать началь-
ное положение x0 = x(t0) , y0 = y(t0), z0 = z(t0) и скорость
u0 = u(t0), v0 = v(t0), w0 = w(t0) точки.
                                    86

Страницы