Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Обобщение такой задачи на n-мерный случай приводит
к необходимости рассмотреть при наличии начальных условий
x
i
(t
0
)=
0
x
i
(≡ x
i 0
) следующую систему дифференциальных
уравнений:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
dx
1
dt
= f
1
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
),
dx
2
dt
= f
2
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
),
....................................
dx
n
dt
= f
n
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
).
(12.4)
Удобно ввести в n-мерном евклидовом пространстве вектор-
функции
X =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
(t)
x
2
(t)
.......
x
n
(t)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,F=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
f
1
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)
f
2
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)
..........................
f
n
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Тогда система (12.4) может быть записана в более компактном
виде
dX
dt
= F (t, X)(12.4
∗
)
с начальными условиями X(t
0
)=X
0
.
Решением системы (12.4) будет x
1
= ϕ
1
(t),x
2
= ϕ
2
(t) , ... ,
x
n
= ϕ
n
(t), или кратко
X =Φ(t) ≡
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
ϕ
1
(t)
ϕ
2
(t)
........
ϕ
n
(t)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
87
       Обобщение такой задачи на n-мерный случай приводит
к необходимости рассмотреть при наличии начальных условий
            0
xi(t0) = xi (≡ xi 0) следующую систему дифференциальных
уравнений:
                      ⎧
                      dx1
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                             = f1(t, x1, x2, ..., xn),
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                       dt
                      ⎪
                      ⎪
                      dx2
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎪
                      ⎨      = f2(t, x1, x2, ..., xn),
                    ⎪
                       dt                                  (12.4)
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                      ....................................
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪ dxn
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪        = fn(t, x1, x2, ..., xn).
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎩ dt

       Удобно ввести в n-мерном евклидовом пространстве вектор-
функции
                 ⎛             ⎞             ⎛                                ⎞
                 ⎜
                 ⎜
                     x1(t)     ⎟
                               ⎟
                                             ⎜
                                             ⎜
                                                 f1(t, x1, x2, ..., xn)       ⎟
                                                                              ⎟
                 ⎜             ⎟             ⎜                                ⎟
                 ⎜             ⎟             ⎜                                ⎟
                 ⎜
                 ⎜   x2(t)     ⎟
                               ⎟
                                             ⎜
                                             ⎜   f2(t, x1, x2, ..., xn)       ⎟
                                                                              ⎟
            X=   ⎜
                 ⎜
                               ⎟
                               ⎟   ,   F =   ⎜
                                             ⎜
                                                                              ⎟
                                                                              ⎟   .
                 ⎜   .......   ⎟             ⎜   ..........................   ⎟
                 ⎜             ⎟             ⎜                                ⎟
                 ⎜             ⎟             ⎜                                ⎟
                 ⎝             ⎠             ⎝                                ⎠
                     xn(t)                       fn(t, x1, x2, ..., xn)
Тогда система (12.4) может быть записана в более компактном
виде
                      dX
                          = F (t, X)                                                  (12.4∗)
                       dt
с начальными условиями X(t0) = X0.
       Решением системы (12.4) будет x1 = ϕ1(t), x2 = ϕ2(t) , ... ,
xn = ϕn(t), или кратко
                                              ⎛              ⎞
                                              ⎜
                                              ⎜
                                                  ϕ1(t)      ⎟
                                                             ⎟
                                              ⎜              ⎟
                                              ⎜              ⎟
                                              ⎜
                                              ⎜   ϕ2(t)      ⎟
                                                             ⎟
                           X = Φ(t) ≡         ⎜
                                              ⎜
                                                             ⎟
                                                             ⎟   ,
                                              ⎜   ........   ⎟
                                              ⎜              ⎟
                                              ⎜              ⎟
                                              ⎝              ⎠
                                                  ϕn(t)
                                         87

Страницы