Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

12.2. Сведение системы дифференциальных уравнений
к одному дифференциальному уравнению старшего
порядка
Рассмотрим общий случай. Предположим, что в системе
(12.4) функции f
i
имеют непрерывные частные производные до
(n −1)-го порядка включительно. Подставив в (12.4) некоторое
решение x
i
= x
i
(t), получим n тождеств. Дифференцируя
первое тождество по t, получим
d
2
x
1
dt
2
=
∂f
1
∂t
+
n
k=1
∂f
1
∂x
k
dx
k
dt
,
или, вследствие самого первого уравнения нашей системы (12.4),
d
2
x
1
dt
2
=
∂f
1
∂t
+
n
k=1
∂f
1
∂x
k
f
k
def
=
F
2
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
).
(Здесь получившуюся в результате подстановки правую часть
равенства мы обозначили F
2
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
).) Дифференцируя
последовательно это тождество n раз, получим
d
3
x
1
dt
3
=
∂F
2
∂t
+
n
k=1
∂F
2
∂x
k
f
k
def
=
F
3
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
),
...........................................................
d
n−1
x
1
dt
n−1
def
=
F
n−1
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
),
d
n
x
1
dt
n
def
=
F
n
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
). (12.5)
89
12.2. Сведение системы дифференциальных уравнений
 к одному дифференциальному уравнению старшего
                                   порядка

    Рассмотрим общий случай. Предположим, что в системе
(12.4) функции fi имеют непрерывные частные производные до
(n − 1)-го порядка включительно. Подставив в (12.4) некоторое
решение xi = xi(t), получим n тождеств. Дифференцируя
первое тождество по t, получим
                      d2x1 ∂f1  n ∂f1 dxk
                           =   +           ,
                       dt2   ∂t k=1 ∂xk dt
или, вследствие самого первого уравнения нашей системы (12.4),
         d2x1 ∂f1  n ∂f1     def
            2 =   +        fk  = F2(t, x1, x2, ..., xn).
          dt    ∂t k=1 ∂xk
(Здесь получившуюся в результате подстановки правую часть
равенства мы обозначили F2(t, x1, x2, ..., xn).) Дифференцируя
последовательно это тождество n раз, получим
         d3x1 ∂F2    n ∂F2      def
              =    +          fk  = F3(t, x1, x2, ..., xn),
          dt3   ∂t   k=1 ∂x k
             ...........................................................
                  dn−1x1 def
                               = Fn−1(t, x1, x2, ..., xn),
                   dtn−1
                     dnx1 def
                               = Fn(t, x1, x2, ..., xn).                   (12.5)
                      dtn




                                         89

Страницы