Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Можно доказать (мы этого делать не будем), что если ∀ x
1
=
ϕ
1
(t) удовлетворяет уравнению (12.8), то, определив из (12.7)
x
2
= ϕ
2
(t),x
3
= ϕ
3
(t), ... , x
n
= ϕ
n
(t), получим, что набор
функций { ϕ
1
(t),ϕ
2
(t), ... , ϕ
n
(t) } есть решение нашей систе-
мы уравнений (12.4).
Таким образом, решение системы дифференциальных урав-
нений может быть сведено к решению одного дифференциаль-
ного уравнения n-го порядка. Ранее нами уже был проведен
и обратный процесс, а именно, что решение уравнения n-го
порядка может быть сведено к решению системы n дифферен-
циальных уравнений первого порядка.
Замечание. Если указанный выше процесс применить к
линейной однородной системе
dx
i
dt
=
n
k=1
a
ik
(t)x
k
,i=1, 2, ..., n,
то (12.8) тоже будет линейным однородным уравнением n-го по-
рядка. Если при этом a
ik
= const, то и (12.8) будет линейным
однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Ана-
логичное замечание справедливо и для неоднородной системы
dx
i
dt
=
n
k=1
a
ik
(t) x
k
+ ψ
i
(t).
12.3. Интегрирование систем дифференциальных
уравнений путем нахождения интегрируемых
комбинаций
Определение. Интегрируемой комбинацией называется
дифференциальное уравнение, являющееся следствием комби-
нирования уравнений системы (12.4), но уже легко интегриру-
91
     Можно доказать (мы этого делать не будем), что если ∀ x1 =
ϕ1(t) удовлетворяет уравнению (12.8), то, определив из (12.7)
x2 = ϕ2(t), x3 = ϕ3(t), ... , xn = ϕn(t), получим, что набор
функций { ϕ1(t), ϕ2(t), ... , ϕn(t) } есть решение нашей систе-
мы уравнений (12.4).
     Таким образом, решение системы дифференциальных урав-
нений может быть сведено к решению одного дифференциаль-
ного уравнения n-го порядка. Ранее нами уже был проведен
и обратный процесс, а именно, что решение уравнения n-го
порядка может быть сведено к решению системы n дифферен-
циальных уравнений первого порядка.
     Замечание. Если указанный выше процесс применить к
                              dxi    n
                                     
линейной однородной системе       =     aik (t)xk , i = 1, 2, ..., n,
                               dt   k=1
то (12.8) тоже будет линейным однородным уравнением n-го по-
рядка. Если при этом aik = const, то и (12.8) будет линейным
однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Ана-
логичное замечание справедливо и для неоднородной системы
dxi    n
       
    =     aik (t) xk + ψi(t).
 dt   k=1

   12.3. Интегрирование систем дифференциальных
      уравнений путем нахождения интегрируемых
                           комбинаций

     Определение. Интегрируемой комбинацией называется
дифференциальное уравнение, являющееся следствием комби-
нирования уравнений системы (12.4), но уже легко интегриру-


                                 91

Страницы